交换律的例子是加法，

3+4 = 4+3 = 7

我们可以把它想象为这样的过程，先在桌上放4枚硬币，然后再在桌上放3枚硬币，这时桌上总共有7枚硬币。我也可以先在桌上放3枚硬币，然后再在桌上放4枚硬币，最后还是7枚。

我们可以把在桌上放4枚硬币这个操作记为A，把在桌上放3枚硬币的这个操作记为B，那么BA是等于AB的。

BA表示先进行A这个操作，然后再进行B这个操作，BA或AB就表示做事情的顺序，我们这里BA是等于AB的，即做事情的次序并不影响做事情的结果。

但有时次序会影响到做事的结果。我们可以举出很多这样的例子，比如做菜的时候，是先放酱油？还是先放醋？也许对菜的口味就会有影响。

我喜欢举的例子是穿衣服，出席正式的晚宴需要穿裙子。我可以先穿裙子（A），也可以先穿内裤（B），此时AB就等于BA，即符合交换律，如果我们把穿衣服看做是一种代数运算的话，我们现在得到的就是对易的代数。

我还可以穿长裤，理论上讲我也可以先穿长裤（A），或者先穿内裤（B），此时AB就不等于BA了，交换律不存在了，穿长裤的代数是不对易代数。我们在做不对易代数的运算的时候不能随便交换AB的次序。

在量子力学中物理量用算符表示，一般而言算符的运算和次序有关，比如位置算符x和动量算符p都可以对量子力学的态（state）进行运算，这里量子力学的态就相当于“人”。对人而言，我们选择先穿长裤，还是先穿内裤。对量子力学的态而言，我们选择是先用x对其运算，还是先用p对其运算，这里次序就很重要，xp是不等于px的。

除了位置算符和动量算符，量子力学中的角动量算符，比如自旋角动量的x分量和自旋角动量的z分量，它们也不对易。自旋有一个好处，即自旋可以表示为一个2乘2的方阵，我们可以通过矩阵运算很直观地看出自旋的x分量和自旋的z分量是不对易的。

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谢尔顿说好的汉堡要按次序来，全麦面包，放芝士和生菜，而不是相反。因为这样芝士可以充当全麦面包的防水隔离。