3月30日数职二年级

学习任务
  1. 复习向量的内积
  2. 看视频讲解，复习知识点，记笔记
  3. 完成学习通里的练习

知识点

  1. 向量的内积（数量积、点积）
  • 定义：\vec a \cdot \vec b = |\vec a||\vec b|\cos{<\vec a,\vec b>}
  • 坐标形式：\vec a=(x_1,y_1),\vec b =(x_2,y_2)，则\vec a \cdot \vec b = x_1x_2+y_1y_2
  1. 向量内积的应用
  • 求夹角： cos{<\vec a,\vec b>} = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}
  • 求模：|\vec a| = \sqrt {\vec a \cdot \vec a}
    \vec a = (x,y)，则|\vec a| =\sqrt {x^2 +y ^2}
  • 判断垂直：非零向量\vec a , \vec b
    \vec a \perp \vec b \iff \vec a \cdot \vec b = 0
  1. 特殊角余弦值
    \cos 0°=1 \cos 30°=\frac{\sqrt3}{2} \cos 45°=\frac{\sqrt2}{2}
    \cos 60°=\frac{1}{2} \cos 90°=0 \cos 120°=- \frac{1}{2}
    \cos 135°=- \frac{\sqrt2}{2} \cos 150°=- \frac{\sqrt3}{2} \cos 180°=-1

课堂练习

（1）已知|\vec a|=3 |\vec b|=4,\vec a与\vec b的夹角是120°，则\vec a \cdot \vec b =______;
（2）已知|\vec a|=2 |\vec b|=3\sqrt3,\vec a与\vec b的夹角是\frac{5}{6}\pi，则\vec a \cdot \vec b =______;
（3）已知\vec a = (3,0), \vec b = (-2,2)，则\vec a \cdot \vec b =______;

（4）根据已知条件求向量的模

  • \vec a \cdot \vec a = 12，则|\vec a|______

  • \vec a = (3,-3)，则|\vec a|______

（5）下列各组向量中，互相垂直的是（ ）
（A）\vec a = (-1,2), \vec b = (-3,1)
（B）\vec a = (-2,-3), \vec b = (3,-2)
（C）\vec a = (2,0), \vec b = (0,3)

（6）\bigtriangleup ABC的顶点坐标分别是A(-1,2)、B(3,1)、C(2,-3)，判断\bigtriangleup ABC是否为直角三角形

扩展知识：

  • 向量的内积是相对于外积而言的，外积的运算符号是\times，所以这里的\cdot不能省略，也不能写成\times
    。
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