数理统计--假设检验复习梳理（待完成）

一、基本概念

$H_0:$ 原假设（零假设）、 $H_1:$ 对立假设（备选假设）
接受域、拒绝域 $W$ 、临界值
两类错误（弃真&保假）、功效函数 $\rho_W(\theta)$ 、操作特性函数 $L_W(\theta)$
置信水平 $1-\alpha$ 、显著性水平 $\alpha$

二、假设检验的基本步骤

步骤：

提出原假设 $H_0$ ;
建立检验统计量;
根据给定的显著性水平，确定与检验统计量的分布相对应的临界值，得到拒绝域;
做出推断。

三、一致最大功效无偏

（一）、功效函数与操作特性函数

$\begin{array}{cl}L_W(\theta)&=P(H_o|\theta)\\&=P((X_1,\cdots,X_n)\notin W|\theta),\end{array}$

$\begin{array}{cl}\rho_W(\theta)&=P(H_1|\theta)\\&=P((X_1,\cdots,X_n)\in W|\theta),\end{array}$

其中 $L_W(\theta)$ 为操作特性函数， $\rho_W(\theta)$ 为功效函数。

当 $\theta\in \Theta_0$ 时， $\rho_W(\theta)$ 表示犯第一类错误（弃真）的概率。当 $\theta \notin \Theta_0$ 时， $1-\rho_W(\theta)$ 表示犯第二类错误（保假）的概率。

（二）、一致最大功效

定义： 称 $W$ 是检验水平为 $\alpha$ 的一致最大功效的否定域（UMP否定域），若 $W$ 的水平为 $\alpha$ 且对一切水平不超过 $\alpha$ 的否定域 $\tilde{W}$ 均有
$\rho_W(\theta)\geq \rho_{\tilde W}(\theta)\quad(\forall \theta\in \Theta_1).$

可惜的是，这种否定域难得存在。比“一致最大功效”较弱的要求是“一致最大功效无偏”。

（三）、一致最大功效无偏

无偏： 称 $W$ 是检验水平为 $\alpha$ 的无偏否定域，若对一切 $\theta\in \Theta_1$ ，有
$\rho_W(\theta)\geq \alpha$

无偏性的直观含义是，“假设”在它真实时遭到拒绝（弃真）的概率不大于它虚假时遭到拒绝（弃假）的概率。

定义：称 $W$ 是检验水平为 $\alpha$ 的一致最大功效无偏的否定域（UMPU否定域），若 $W$ 是水平为 $\alpha$ 的无偏否定域且对任何水平为 $\alpha$ 的无偏否定域 $\tilde{W}$ 均有
$\rho_W(\theta)\geq \rho_{\tilde W}(\theta)\quad(\forall \theta\in \Theta_1).$

四、N-P引理及似然比检验法

设 $X\sim F(x,\theta)$ ， $\theta\in \Theta = \{ \theta_1,\theta_2 \}~(\theta_1\neq \theta_2)$ ，设 $X$ 是连续型随机变量，密度函数是 $f(x,\theta)$ ，检验问题是：
$H_0:\theta = \theta_1 \leftrightarrow H_1:\theta=\theta_2.$
记 $\underline{x} = (x_1,\cdots,x_n)$ , $d\underline{x} = dx_1dx_2\cdots dx_n$ , $L(\underline{x},\theta) = \prod_{i=1}^nf(x_i,\theta)$ .

（一）、N-P引理

Neyman-Pearson引理： 给定 $\alpha\in (0,1)$ ，设
$W_0 = \{ \underline{x}:L(\underline{x},\theta_2) > \lambda_0L(\underline{x},\theta_1) \}$
（这里 $\lambda_0\geq 0$ ）适合
$\int_{W_o}\cdots\int L(\underline{x},\theta_1)d\underline{x} = \alpha$
则，对任何否定域 $W\subset \bf{R}^n$ ,只要 $\rho_W(\theta_1)\leq \alpha$ ，就一定有
$\rho_{W_0}(\theta_2)\geq \rho_W(\theta_2)$
也就是说， $W_0$ 是所有检验水平不超过 $\alpha$ 的否定域中犯第二类错误的概率最小的一个。

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