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全纯函数在局部是收敛的幂级数，刻画了解析函数的基本特征。
第一个，零点数目是至多可数的，或者就是常数零。并且零点具有阶。
零点集，a点集
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第二个，解析函数唯一性定理，非常著名的定理，解析函数完全由一个具有极限点的集合上的值决定。也就是说，只需一个较小的局部，就可以重现整个解析函数，也可以称为全息定理。每个局部都含有全部信息。这个注是说空间必须是连通的，信息可以自由传递。如果是隔离的，这个性质就消失了。
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孤立奇点，也就是单个点，可以被补充定义的，就是可去奇点。只要函数在附近是有界的，就是可去奇点，和连续函数性质差不多，不过不存在跳跃间断点，因为二维平面去掉一个点依然连通，而一维直线去掉一个点就不连通了。
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奇点分类，可去奇点，极点，本性奇点。
其实说明了解析函数的种类，一种，定义域缺失的整函数，第二种，多项式形式的函数，或者代数函数，第三种，超越形式的函数，对数，三角函数，根式函数之类的。
其实这部分可以参考欧拉的无穷小分析，毕竟他的那本著作其实就是讲的复函数。复函数在几百年前可是唯一的正统函数，相关的研究不计其数。现在很多解析数论，特殊函数，微分方程的代数解法都是那个时代的遗产。
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帕塞瓦尔公式，就是傅里叶级数的系数项模平方求和，等于函数模平方的积分差一个常数。非常著名的公式。这里能使用的原因是复指数可改写为三角函数。
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怎么说呢，刘维尔定理可以用上面的定理证，函数有界，所以系数有界，而系数中有可无限增大的项，圆的半径，所以系数必须为零。也就是常数。
这种估值方法很常用，解析函数的值受到半径的限制。
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有一个奇妙性质，周围圆周上的值总能够大于内部的值，也就是对于任意一点，总能找到比他大的点。所以解析函数的极值必须出现在性质不好的地方，比如无穷点，或者奇点。
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反过来，由于每一个点周围必然有比他绝对值大的点，那任何一个点都能找到比他小的点，除了零点。
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这个是代数基本定理，n次复系数多项式恰有n个零点。也就是说复数域是代数闭域。
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对导数的估计，证明题中很好用。函数有界条件很容易满足，紧而且没奇点就行。
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函数序列在紧子集上一致收敛，一致收敛用于极限换序，也就是运算保极限性。
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定理和推论，说一致收敛的解析函数序列，极限函数也是解析函数，而且任意阶导数序列也收敛于对应的解析函数导数。性质非常好。
实函数性质则很差。这也说明一个问题，解析函数只占实函数的极小部分，所以实变函数是非常有必要研究的，那里会给出性质极差的函数，告诉我们数学和经验不是一回事。
