MINMOD格式求解一维对流方程的一个算例

1.一维对流方程

利用一维对流方程去用于求解污染物扩散，但对于对流方程这样的差分方程而言，先需要对差分方程进行离散，简单来说有前向差分、后向差分以及中心差分格式（就空间而言前两个是一阶、最后的中心差分格式是二阶），当然还有更多的高阶格式以及变式。

上式中，C 代表浓度。

2.问题简述

在x轴上，某处突然出现了污染物泄漏（污染物分布详见图1 网格单元划分），同时沿着x轴介质(水或者空气)流动速度为0.5m/s，试求解污染物的扩散。

3.关于MINMOD格式

MINMOD格式也可以称为限制器，它的原理是利用离散化的求解格式计算每个网格单元的具体参数（本例即为浓度C ）时比较本网格单元向前和向后的浓度梯度，取较小值。

4.编程实现

下面给出程序的主要部分：

for m=1:nstep    mf(:,m)=f;    lf(:,m)=fu;    if m==1        %         hold off;        figure (1)        plot(x,f,'k-')                hold on    elseif m==200||m==400||m==600        plot(x,f,'b--');        plot(x,fu,'r-.');        %         pause(0.5)    end    foo=f;    for is=1:2 %two steps per timestep        fo=f;        for i=2:n-1            bot=(fo(i)-fo(i-1));            top=(fo(i+1)-fo(i));            r=top*bot/(bot^2+0.00001);            psi=max([0, min([r,1])]); % minmod            fh(i)=fo(i)+0.5*psi*(fo(i)-fo(i-1));        end        bot=(fo(1)-fo(n-1));        top=(fo(2)-fo(1));        r=top*bot/(bot^2+0.00001);        psi=max([0, min([r,1])]); % minmod        fh(1)=fo(1)+0.5*psi*(fo(1)-fo(n-1));        fh(n)=fh(1);        for i=2:n-1            f(i)=fo(i)-Co*(fh(i)-fh(i-1) );        end        f(1)=fo(1)-Co*(fh(1)-fh(n-1) );        f(n)=f(1);    end    for i=1:n        f(i)=0.5*(f(i)+foo(i));    end    %一阶迎风    fuo=fu;    for i=2:n-1        fu(i)=fuo(i)-Co*(fuo(i)-fuo(i-1));    end    fu(1)=fuo(1)-Co*(fuo(1)-fuo(n-1));    fu(n)=fu(1);end

5.结果展示

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MINMOD

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