在“胡不归”问题中，我们见识了“PA+k·PB”型的最值问题：其中点P的运动轨迹是直线，而当点P的运动轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题。
【模型来源】
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【阿氏圆证明】
已知：PA：PB=k（k≠1）
求证：点P的轨迹是圆
证明：如图，分别作∠APB和∠BPR的角平分线PE、PF
因为∠APR是平角，所以∠EPF=90°
点P在以EF为直径的圆上运动
【阿氏圆模型分析】
模型条件：点A和点B为两个定点，点P在圆上运动。
轨迹特征：动点P到两定点A、B的距离比值为定值时，其轨迹必为圆。
相似三角形构造：通过构造“母子型”相似三角形，可将线段比例关系转化为几何关系，便于计算。
最值应用：常结合“两点之间线段最短”或“垂线段最短”原理，求解线段和差的极值问题。
【典型例题】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求AP+1/2BP的最小值。
解题思路：
1.连接CP
2.在CB上取一点D，使CD=1
3.构造相似
如图，△CDP∽△CPB
理由：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
4.得对应边成比例
CD/CP=DP/PB=1/2
DP=1/2PB
5.转换：AP+1/2BP=AP+DP
AP+1/2BP的最小值=AP+DP的最小值
当A、D、P三点共线时AP+DP的值最小
此时，AP+1/2BP的最小值=AD
利用勾股定理即可求出。
你学会了吗？
【解题关键】
求形如“PA+k·PB”式子，且点P的运动轨迹是圆的最值问题，关键是构造共角的母子型相似三角形，根据相似得到k·PB的等线段，将“PA+k·PB”型的问题转化为“PA+PD”型.
根据“两点之间线段最短”或“三角形两边之差小于第三边”等原理，确定线段和差的最小值或最大值。
【笔记】
1.确定圆心与半径
2.构造相似三角形：连接动点至圆心，利用相似比建立方程，将系数不为1的线段转化为可计算的几何关系。
3.求解最值：根据“两点之间线段最短”或“三角形两边之差小于第三边”等原理，确定线段和差的最小值或最大值。
