因为疫情封村，我们借住在老朋友大豆爸家里。这里不仅有天天不重样的山西美食，还有共学共研讨的伙伴，也算是因祸得福。大豆爸可爱的小女儿慧慧也在上二年级，我们俩昨天聊起乘法表的建构，小鹅爸在一边偷偷记录了个大略，我感激他的欣赏认可，特此整理成文。谨以此文献给热情、友爱的大豆一家！

和大豆爸聊乘法表

我们小时候学乘法表，都是直接把口诀背下来。没有前期的操作经验，乘法口诀是死的，记住就记住了，没记住，或是记错了，也不能自我检验和校正。如何将鲜活的感受和思考，带入到乘法表的学习当中？

节奏与模式

在背乘法口诀之前，先要熟练地唱数，配合身体动作的节奏，来熟悉倍数的数列，建立数感。汉语一字一音，真是太适合学习节奏和倍数了。孩子们从学前开始，就在儿歌、童谣、经典诵读中，浸润着有节奏的语言，最常见的有三、四、五、七的节奏——”小老鼠、上灯台、偷油吃、下不来……”“，很多童谣是三个字一节的，《三字经》更是如此。《诗经》以四言为主，还有《百家姓》和《千字文》。唐诗则是以五言和七言为代表。孩子们在诵诗的过程中加入节奏和动作，慢慢的，这个动作序列变成数数的序列，先是按自然数的连续数列数下去。等到熟悉以后，可以抽提出3、4、5……等等的倍数来跳着数。当某一个倍数家族的数列已经很熟悉了之后，我们才会慢慢引入乘法口诀，从“一三得三”，依次数到“十二个三是三十六”。

到了背乘法表的时候，也还有一个阶梯性。一开始要顺着往下背，比如3的倍数，从““一三得三””，一直背到“十二三三十六”，结果是在一个等差数列的递增过程当中。顺着背能够帮助孩子建构这样一个递增的模式。顺着背完一遍，可以试着倒着背回来，体会结果递减的过程。等顺着背、倒着背都很熟练之后，再随机抽着背，这时候孩子们已经基本完成乘法表的建构过程，要进入“自动化”的阶段。

比如，一年级的时候，我们会带孩子们唱《数蛤蟆歌》：“一只蛤蟆一张嘴，两只眼睛四条腿，两只蛤蟆两张嘴，四只眼睛八条腿……”如果要问“三只蛤蟆几条腿？”，成人多半会用乘法计算三四十二。但你去观察一年级的孩子，他们多半不是“套公式”计算的。他们会说：“三只蛤蟆三张嘴，六只眼睛十二条腿”，眼睛的数量是嘴的数量翻倍，3+3=6, 而腿的数量又是眼睛翻倍，6+6 =12。这是在前项和后项之间发现了递归的模式。而二年级学习乘法表的首要目的，不是让孩子记住结果，而是鼓励孩子去感受倍数的增长变化规律。

小孩子很早就开始对同数相加产生敏感，相应的计算更熟练。如果你让一二年级的孩子算6+8，期待着他们去凑十，先算6+4，再加4，或者8+2，再加4，你会惊奇的发现，不少孩子会转化为算7+7，然后直接报出答案是“14”。

大豆爸爸给小女儿慧慧出了道题：16个烧饼平均分给4个人，每人分到几个？

二年级的慧慧算16÷4，先想到16是两个8，是特别自然的。翻倍再翻倍，可以用熟悉的同数相加解决乘法问题，而反过来，自然是折半再折半。这是对数量关系的主动探索，而不是机械地去背乘法表，套用通项公式。

重在相互关联

从一开始，我们就发现乘法不是孤立存在的，同一个问题，可以在＋、－、×、÷的不同视角中转换着来看。一个乘法算式3×4，可以表示成3+3+3+3，也可以表示成3×3+3，不要小看这些变换，背后蕴藏着思维的灵活性。当你一时忘了乘法口诀“七八多少”时，你可以用七七四十九，再加上一个7——7×8 = 7×7+7=56。

相比1到5，以及9和10的乘法表，6、7、8的口诀更难建立，背诵中更容易卡。对倍数家族整体的认知，不是出一套口算卡，而是基于生活中的观察和发现。我能想到生活中7的倍数，最自然的就是一周7天的节奏。所以计划带孩子们作周历（月历，年历），从中感受到7的倍数关系，比如月历中7的下层是14, 14的下层是21，等等。等孩子们熟悉之后7的倍数之后，再做7的乘法表就水到渠成了。

从数的拆分来看：6= 5+1。5的乘法表是孩子们很熟悉的。那么6的乘法表就可以建立在5的乘法表基础上。罗马数字VI，很直观的就是V+1，那么两个6就是VVII，一目了然是12。如果你想知道8个6是多少，想想8个5是40，那么8个6就是40再加上8个1，结果是48。作为日常的实际操作经验，我让孩子们用五角和一角的硬币，来组合出不同的钱数。

还有一种拆分的思路：6= 3×2，所以6的乘法表也可以建立在3的乘法表的基础上，3，6，9, 18，……间隔一个，只取其中的偶数项。

总之，我们要做的，不是简单记住口诀，而是去理解、运用、掌握这种拆分的方式，熟悉不同数、不同运算之间的关联。

建构完整的认知图景

在背小九九乘法表的过程中，由于乘数交换后结果不变，8×3=3×8，去掉冗余的口诀，砍掉了将近半张表。看似走了捷径，孩子们背完这张阶梯表格，对各个倍数的家族，并没有建立完整的感受。

在实际教学中，我们会带孩子们做一张12×12的矩阵乘法表，涵盖1-12的乘法数列，让孩子对每一个倍数家族的独特性有感受，再对整张表有一个整体感知。

每次做出这张大乘法表之后，孩子们总会很兴奋地在上面发现很多对称的模式（有的孩子会说，就像折纸时沿对角线对折上去），还有很多倍数的规律。把这个留给孩子去慢慢探索发现，更有追问的乐趣，更有认知深度。我们也不要急于一次说破表中所有的秘密，或是给孩子快速记住整个表格的窍门。在遗忘和重新回想起来之间，是主动思索和深度研究的空间。

数学上的思考和表达，就像孩子涂鸦，写画一样，快速掌握技巧不是最重要的，要保持我手写我心，从生活经验、具象的感受中，逐步发展抽象的思考和符号化的语言。如果孩子始终有这样的自信和习惯，他的思维就一直在长。怕的是直观经验和抽象思维太早分离了，没有充分的感官经验，去支持数感和数学思维的发展。

拿我自己为例，大一刚刚开始学习高数，描述一个极限过程，有时是开区间，有时是闭区间，我搞不清楚边界，心里不踏实，求教同学。同寝室的学霸说：“你管它干什么呢，会做题就行了。” 如果不追问缘由，这样的套装知识对自己有什么帮助呢？可能有的孩子到八年级学习代数，三角函数的各种变换，公式推来推去，已经不知道它在干嘛了。

在德国读博士的时候，我的导师是一个理论物理学家，擅长理论推导。物理学还不像数学那么严谨，有许多经验性的处理，比如线性化或近似展开。我们当时在用物理学上的平均场理论，处理大脑发育的复杂图谱分析，我只能依样画葫芦地模仿着做一些动态分析，好像也能推出想要的结果，但已经远远超出自己能够去感受和确信的经验。所以我对导师说：“我感觉自己只是借来了你们物理学家的语言，说出来的话，自己都不知道是啥。”

对孩子来说，如果他在数学学习之初，坚持去联系自己的经验和感受，这样建构起来的语言和逻辑，才能够上下打通，而不是“不敢追问”，只能被动接受。这也是Jamie York在他的课堂上反复强调的，“让数学有意义”。