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第4章一元线性回归

第4章一元线性回归

一、线性回归模型

一元线性回归模型 $Y_i=\beta_0+\beta_1X_i=u_i$

总体回归函数 $\beta_0+\beta_1X$ ，截距 $\beta_0$ ，斜率 $\beta_1$ ，误差项 $u_i$

二、线性回归模型的系数估计

普通最小二乘（ordinary least squares，OLS）估计量

参数估计量 $\hat{\beta}_1=s_{XY}/s_X,\quad \hat{\beta}_0=\overline{Y}-\hat{\beta}_1\overline{X}$

预测值 $\hat{Y}_i=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1+X_i$

参数 $\hat{u}_i=Y_i-\hat{Y}_i$

三、拟合优度

回归 $R^2$ （regression $R^2$ ）可由 $X_i$ 解释的 $Y_i$ 样本方差的比例

被解释平方和（explained sum of squares，ESS） $ESS=\sum_{i=1}^n(\hat{Y}_i-\overline{Y})^2$

总平方和（total sum of squares，TSS） $TSS=\sum_{i=1}^n(Y_i-\overline{Y})^2$

残差平方和（sum of squared residuals） $SSR=\sum_{i=1}^n\hat{u}_i^2$

则 $R^2=ESS/TSS=1-SSR/TSS$

回归标准误（standard error of the regression，SER）回归误差 $u_i$ 的标准差估计量

$SER=s_{\hat{u}}$ ，其中 $s_{\hat{u}}^2=\frac{1}{n-2}\hat{u}_i^2=\frac{SSR}{n-2}$

四、最小二乘假设

假设1：给定 $X_i$ 时 $u_i$ 的条件分布均值为0

假设2： $(X_i,Y_i),i=1,2,...,n$ 独立同分布

假设3：不太可能出现大异常值

第一个作用体现在数学运算上，如果这些假设成立，则在大样本条件下，OLS估计量的抽样分布为正态分布。大样本正态分布使我们能基于OLS估计量进一步发展假设检验和构造置信区间的方法。

第二个作用是组织OLS回归出现问题的各种情形。

五、OLS估计量的抽样分布

$\mathbb{E}(\overline{Y})=\mu_Y,\quad\mathbb{E}(\hat{\beta}_0)=\beta_0,\quad\mathbb{E}(\hat{\beta}_1)=\beta_1$

$\sigma_{\hat{\beta_1}}^2=\frac{var[(X_i-\mu_X)u_i]}{n[var(X_i)]^2}m,\quad \sigma_{\hat{\beta_0}}^2=\frac{var(H_iu_i)}{n[\mathbb{E}(H_i^2)]}$ ，其中 $H_i=1-\frac{X_i\mu_X}{\mathbb{E}(X_i^2)}$

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