费马小定理与欧拉定理

定义
若整数a和整数b，除以正整数m得到的余数相等，称为a，b模m同余，记作 $a\equiv b \pmod m$ 。
费马小定理
若p为质数，a是任意整数并且 $gcd(a,p)=1$ ,那么有 $a^{p-1}\equiv 1 \pmod p$
欧拉定理
若正整数a,m互质，那么有 $a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m$
欧拉定理推论
若正整数a，n互质，则对于任意的 $a^b \equiv a^{b \pmod {\varphi(n)}} \pmod n$
当a，n不一定互质并且 $b>\varphi(n)$ 的时候满足 $a^b \equiv a^{b \pmod {\varphi(n)}+\varphi(n)} \pmod n$ 原因在于指数循环节，第 $\varphi(n)$ 个往后一定会循环，这个公式也叫欧拉降幂公式。

费马小定理

若p为质数，a是任意整数并且 $gcd(a,p)=1$ ,那么有 $a^{p-1}\equiv 1 \pmod p$
分析：
因为p是质数，只有两种情况 $gcd(a,p)\neq 1$
1. $a=0,gcd(0,p) = p$ 显然不成立
2. $p|a$ ,a是p的倍数， $gcd(a,p)=p$
思考一下这个公式 $3^6\equiv 1 \pmod{7}$ 为什么成立

image.png

可以看出当x按顺序从1到6排列时，出现的数是1~6，但是顺序打乱了。通过这个现象可以发现下面的公式是成立的。

引理：若p为质数，a是任意整数并且，数列f：1,2,3,4...p-1。任意一个数都能在数列g：a mod p，2a mod p，... (p-1)a mod p中找到一个相同的数。
反证法：假设任意两个整数j和k，，满足。
通过上面公式可以推导出

因为gcd(a,p)=1所以根据j和k的范围可知,所以不可能成立，假设失败，数列g中不存在任意两个数相等。因为g一共有p-1个数，0到p-1一共有p个位置。因为gcd(a,p)=1不可能存在g数列出现0的情况。所以g数列中的数是1到p-1。
根据引理可知，这个公式是成立的。

欧拉定理

若正整数a,m互质，那么有 $a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m$ ， $\varphi(m)$ 是欧拉函数。欧拉定理证明费马小定理证明思路相同
引理：若正整数a,m互质,并且 $gcd(b_i,m)=1$ 其中 $1\leq b_i<m$ ,那么整数序列 $b_1,b_2,b_3...b_{\phi (m)}$ 与整数数列 $ab_1 \pmod m,ab_2 \pmod m,ab_3 \pmod m...ab_{\phi (m)} \pmod{m}$ ，值相同但是次序不同。
反证法证明：任意正整数 $k，j \in b，j>k$ ,使得 $ja\equiv ka \pmod{p}$ 成立，相当于 $p|(j-k)$ 只有当j==k时成立。因此就证明了第二个整数序列不可能存在两个相等的数。并且任意一个正整数 $z\in b$ gcd(z*a,p)=gcd(z,p)=1，每个数都与p互质，一共有 $\varphi (m)$ 个数。1到p-1中与p互质的数只有\varphi (m)个数。所以就证明了这两个数列是值相等，但是次序不同。
根据引理可以得到 $\prod_{i=1}^{\varphi(m)}a*b_i = \prod_{i=1}^{\varphi(m)}b_i \pmod m$
$a^{\varphi(m)}*\prod_{i=1}^{\varphi(m)}b_i = \prod_{i=1}^{\varphi(m)}b_i \pmod m$
$a^{\varphi(m)} =1 \pmod m$

欧拉定理推论

若正整数a，n互质，则对于任意的 $a^b \equiv a^{b \mod {\varphi(n)}} \pmod n$
因为 $a^{\varphi(n)}\equiv 1 \pmod n$ 很明显成立。
当正整数a，n不一定互质并且 $b>\varphi(n)$ 的时候满足 $a^b \equiv a^{b \pmod {\varphi(n)}+\varphi(n)} \pmod n$
假设上一次计算出的 $a^i \mod n$ = b,那么我们可以确定下一个的数是 $(b*a) \mod m$ 。
假设b无穷大，让i从1到b扫描，计算出 $a^i \mod n$ ，这个数一定有在0到p-1之间。 $a^i$ 有无数个，但是最后只有p个位置。所以有的位置一定会被重复占用。
通过上面的两个假设，可以确定 $a^i \mod n$ 的值是不断循环的。如果我们能找出他是如何循环的。就可以让b变为一个更小的数去计算。
令一种解释是，i从1到n+1扫描， $2^i\mod n$ 最少有一对数是相等的。因为n+1个数对应0~n-1，n个位置最少有两个数占用了一个位置。假设这两个数的位置分别是j和k并且j>k， $2^j \equiv 2^k \pmod n$ 那么他们两个的下一个位置 $2^{j+1} \equiv 2^{k+1} \mod n$ ,根据数学归纳法 $2^{j+i} \equiv 2^{k+i} \pmod n$ 当j+i=k时是一个循环。循环长度len是j-k。因此当b非常大时，可以将b放到n到n+len-1，计算。
但是这个降幂公式根据确切表明，最少在第 $\varphi(n)+1$ 个数进入循环，并且循环长度的倍数是 $\varphi(n)$
欧拉降幂公式证明
当我们计算 $a^b \mod p$ 。可以先求解 $\varphi (n)$ ，使用欧拉降幂公式缩小b，使用快速幂求解。 $O(\sqrt n log(n))$ 的时间就可以计算出结果。

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