原文于2016年9月11日首发于“宏观研学会”微信公众号！

上一篇推文中，我给出了DSGE迄今为止所收集整理地研究领域及其相关文献。我的目的就是能有更多的人能进入到DSGE的研究或者应用中，而不会出现目前大部分经济兴趣者望而生畏的现象。因此，定位为入门，即会用。

入门即会用，这并不意味着不求甚解，感兴趣者自会上下求索！

厂商理论主要介绍Solow model。Solow model是学习其他增长模型好的起点（Acemoglu，2009）。在Solow模型之前，最常用的增长模型是Harrod-Domar模型（Harrod，1939；Domar，1946），Solow模型和HD模型最主要的区别就是新古典综合生产函数。下面我们将会看到，大部分时候以C-D生产函数形式出现。不说废话了，直接上菜吧。

任何一个一般均衡模型，都是从偏好、技术（家庭偏好、生产技术）开始，Solow模型也是一样(注，很多人都以为Solow模型是不涉及家庭的，因此是一个纯生产者理论，正如上述题目，这是误导！切记！)

假设1：家庭储蓄率为常数，那么，家庭的储蓄（投资，回忆一下初级宏观中，S=I的恒等式）决策总是恒定的，因此家庭决策可忽略。（知道为什么说Solow模型也是涉及家庭了吧）

假设2：唯一产品、代表性生产函数（代表性厂商，这一点可以去搜索Gorman’s aggregate theorem）。代表性厂商就是说，所有厂商都是一模一样的，我们也可以把这些个多胞胎打包在一个盒子里，把资本K和劳动L装进这个盒子里，咣当，出来了唯一产品Y，如图：

这样，为了用数学表达，以前那些就给盒子用了一个函数F来表达：

Y(t)=F(K(t),L(t),A(t))，所以总的生产函数就出来了。数学嘛，总是要解出来才行，但是数学嘛又不是什么都能解出来。就又来了一大堆假设：连续、可微、正的递减边际产量、规模报酬不变，然后听说，数学中有个欧拉定理，好像拿过来用用，灯亮了，企业最优就可以求出来了:

回忆一下，初级微观经济学知识，企业追求利润最大化，且在完全竞争环境中，企业最大化利润为0，也就是说企业的要素边际收益等于要素价格，完全竞争环境中，企业产品是价格的接受者，因此可以标准化为1，那么，要素边际产量就等于要素价格。劳动的边际产量等于劳动价格——工资率w；资本边际产量等于资本价格——利率R。这就是上面两个数学公式。有了它们之后，就可以定义均衡了。企业利润为0，且

（不要问我从哪里来，我来自欧拉方程，有兴趣自己去找找什么是欧拉方程吧）

完了吗？肯定没有啊。千万不要忘记横截条件（稻田条件，Inada condition）。这个条件说的是什么，哭了，又不知道。公式复杂，打出来费劲，反正就是在没有生产（要素为0）的时候，你往盒子里加一点点K或者L，K或者L的边际产量就冲的一下到无穷了；而当K或者L取之不尽用之不竭的时候，它们的作用没有了，也就是其边际产量为0。

到这里其实就讲完了Solow模型了，可是可能有人哭了，这个跟我们在“高大上”论文和课本里看到的不一样啊，人家都是巴拉巴拉一大堆公式推导，多“高大上”，好吧，我们也来一个吧。

上面说了，一般见到的生产函数是C-D形式的，也就是科布-道格拉斯生产函数。但是也有一些其他形式，例如下面的(你用在论文里，绝对高大上)

这个生产函数就是CES（常替代弹性）生产函数。三种A(AH、AK、AL)都是技术或者生产率，H那个是Harrod中性、K是资本扩张型、L是劳动扩张型，这三个一般在论文中出现一个就行了。（像r那个家伙，在0-1之间）是分配参数，控制中资本和劳动在产出中的份额。（像趴着的6的家伙，在0-无穷之间）是替代弹性。看看这个函数的神奇之处吧。

（1）当这个趋近于1的时候，就变成了C-D函数

（2）当sigma趋近于无穷的时候，就变成了线性生产函数

（3）当sigma趋近于0的时候，就是列昂惕夫生产函数

上面这些是怎么来的，我们这是个入门嘛，搞得那么复杂干嘛，知道是这么回事就好。有兴趣的可以自己去查资料。

由于C-D函数在论文中见得最多，我们就来看看C-D函数吧。

（这个函数应该大家非常熟悉了，这里的alpha就是CES中的）。我一般在论文中写“其中，表示资本份额”，是不是天下论文一大“抄”，哈哈。还记得上面的规模报酬不变假设吗？（什么，又忘记了。好吧，就是所有要素同增同减，产出也同增同减一样多。）那么，所有的要素都同减劳动数量那么多倍，即

这个太复杂，简单点，我们令表示人均产出，表示人均资本，那么，我们得到

好了，AK模型出来了。上面表示的都是人均量。为什么很多论文都假设生产函数只用资本，没有劳动，就是这么来的。有人可能会说，这个太扯了，直接生产函数两边同时除以劳动L不也可以得到上面的AK模型吗?这个简单的除法，上过高中的都会，上面还扯一大堆什么假设，装吧。Ok，你们明白了理论模型了:理论模型不难!

注：我想为自己辩解一下，上面那么做只是为了跟大家回忆初级理论知识，好更像经济学，而不是数学加减乘除。

有了这个，我们就可以解企业最优化了。企业最优化问题是，利润最大化，利润是销售收入减去生产成本。因为价格为1(为什么？去上面吧)，生产成本就是要素支出，及要素价格乘以要素数量。好了，利润公式有了

要最大化上式，记起来了吗?求导啊，偏导为0，不就是极大值点吗？记起来了吧。把生产函数带进入，分别对K和L求导

所以，一阶条件（FOC，first order condition）就出来了

注：第二个等号后面的式子是缩减形式，有时候也出现在论文里，只是让大家看看，混个脸熟。这个两个一阶条件的经济学含义是:(上面已经论述过了，但是还要说一遍，因为经济学含义很重要，这是经济学不是数学) 劳动的边际产量等于劳动价格——工资率w；资本边际产量等于资本价格——利率R。

我们这是一个DSGE note嘛，那随机项呢？不要慌，这个简单，引入随机过程(这个也不懂，算了，懂了干嘛，入门嘛，会用就好，哈哈，反正我就知道它叫随机过程)。我们常常见到的是生产率的随机过程，生产率服从AR(1)（也就是一阶自回归）过程

DSGE模型的冲击就是这个家伙，叫生产率外生冲击，也就说它突然就变大了，就好导致生产率提高，生产率提高了，产出自然会增长，这就使产出的响应。而是自回归系数，如果看过DSGE论文的人，回忆一下那些脉冲响应图，临时性冲击，A是曲线下降的形状，这个形状的陡峭就是被控制的，称为冲击的衰减率。

好了，厂商理论入门结束了。其实，上面呈现的是一个离散时间的Solow模型，还有连续时间的，这里就不过多论述了。需要注意的是，上面那个求导过程，其实是拉格朗日公式得到，而连续时间中，则需要用到汉密尔顿函数（可参见，维基百科）。

参考文献

Solow模型是由Solow（1956）和Swan（1956）首先提出。Solow（1970）给了一个nice的处理。

Barro和Sala-i-Martin（2004）的课本第一章呈现了一个中高级版Solow模型，而Jones（1998）课本的第二章呈现了初级版本。高鸿业版微观经济学也有相应内容（这个应该是非常熟悉了吧）。另外Acemoglu（2009）第二章也有更加详细的论述。

生产者理论和一般均衡理论的数学细节，可参考MWG(1995)微观经济理论。

欧拉定理可参考Simon和Blume（1994）第20章。

CES生产函数首先是Arrow etal.(1961)引入。

稻田条件来自于Inada（1963），也可参考Romer（2010）第一章。另外，有兴趣的可以看看Hakenes和Irmen（2006）。

（To be continued...下周日是消费者理论）

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