一个中文数学小论文-全文 @ TeX模板

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\renewcommand{\abstractname}{摘\ \ 要}
\renewcommand{\refname}{参考文献}
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\author{AAA 2011012xxx \\ BBB 2011012011 \\ CCC 2011012xxx}
\title{文献读书报告II\\Wavelets}
\begin{document}




\maketitle
\tableofcontents
\begin{abstract}

\end{abstract}
\section{小波分析的历史}
\section{主要问题与核心困难}
\subsection{主要问题}
在一个二维无穷大的整数晶格平面上，从（0,0）出发做随机游走，以1/4的概率向南或向北走1，以1/4+$\varepsilon$的概率向东走1，以1/4-$\varepsilon$的概率向西走1，若最后以p=1/2的概率回到起点，求解$\varepsilon$的值。

\subsection{核心困难}
为了回答上述问题，首先必须确定该问题的解是否存在，实际上该问题是对二维平面离散随机游走常返性的研究，所以通过定义停时$\tau=inf\{n\in N^*,s_j\neq(0,0),j=1,2,3\cdots n-1\}$,我们可以自然得出等式:
\begin{eqnarray}
\displaystyle1/2=p=P(\tau<\infty)=P(\sum_{n=0}^{\infty}\tau=2n)=\sum_{n=0}^{\infty}P(\tau=2n)
\end{eqnarray}
对于给定的n，由于二维平面，而且不是对称随机徘徊，所以很难写出完整表达式，但是我们可以很直接地发现，当假定$\tau=$2n，向东走步数k，向北走步数j以后，（要满足k+j=n）,事实上我们可以引入参数$A_{n,k,j}$，表示给定各方向走的步数后，共2n步后初次返回（0,0）的路径数，可以得到：
\begin{center}
$\displaystyle P(\tau=2n)=\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^{n-j}A_{n,k,j}(1/4)^{2j} (1/4-\varepsilon)^k(1/4+\varepsilon)^k$\\
\end{center}
 显然$A_{n,k,j}$ 与$\varepsilon$取值无关，且原始问题解的存在性问题转换为：
 \begin{eqnarray}
 \displaystyle 1/2=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{j=0}^n\Sigma_{k=0}^{n-j}A_{n,k,j}(1/4)^{2j}(1/16-(\varepsilon)^2)^k
 \end{eqnarray}
 该等式解的存在性问题，此时我们重新对$\varepsilon$的取值范围进行讨论，$\varepsilon$本质上应该在[0,1/4]这个区间上，而当$\varepsilon=0$ 时，原问题转化为二维简单对称随机徘徊问题的常返性问题，可以证明此时p=1，（详细证明见命题2.1），而当$\varepsilon=1/4$时，此时常返问题实际上就限制在一维上，我们可以将等式右边重写为：
\begin{eqnarray}
\displaystyle p'=\sum_{n=1}^{\infty}B_n(1/4)^{2n}
\end{eqnarray}
其中$B_n$表示一维简单对称随机徘徊问题中当第一次常返时为2n时，所有可能的路径数。事实上，对于真正的一维简单对称随机徘徊，我们有：
\begin{eqnarray}
\displaystyle 1=\sum_{n=1}^{\infty}B_n(1/2)^{2n}
\end{eqnarray}
（等式成立原因见命题2.1），与(3)式进行比较，我们可以有大概估计：\\
$\displaystyle p'=\sum_{n=1}^{\infty}B_n(1/4)^{2n}=\sum_{n=1}^{\infty}B_n(1/2)^{2n}(1/4)^n\leqslant1/4\sum_{n=1}^{\infty}B_n(1/2)^{2n}=1$\\
所以不难发现当$\varepsilon$在[0,1/4]变化时，p至少在[1,1/4]波动，而且由（2）式，显然有当$\varepsilon$在[0,1/4]时，p与$\varepsilon$一一对应且单调下降，所以由$1/2\in[1/4,1]$知，存在$\varepsilon^*\in[0,1/4]$,满足原问题要求。
\theoremstyle{definition} \newtheorem{recurrence}{命题}[section]
\begin{recurrence}{}
考虑$R^d(d\geq1,d\in N^*)$上的简单对称随机徘徊，当$d\leq2$时常返，否则非常返。
\end{recurrence}
\begin{proof}
首先我们先证明如下引理：\\
\textbf{Lemma:}对于$R^d$上的简单随机徘徊（不需要对称性），以下结论等价：
\begin{center}
(1)$P(\tau<\infty)=1$(等价于常返性)，$\tau\triangleq inf\{n\in N^*,s_n=0,s_j\neq0,j=1,2,\cdots n-1\}$\\
(2)$P(s_n=0,i.o)=1$\\
(3)$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}P(s_n=0)=\infty$
\end{center}
\textbf{Proof of Lemma:}\\
$(1)\Rightarrow(2):\tau_k\triangleq inf\{n>\tau_{k-1},s_n=0,s_j\neq0,j=\tau_{k-1}+1,\cdots n-1\},\forall k\geq2,\tau_1=\tau.$\\
$\therefore P(s_n=0,i.o)=1\Leftrightarrow P(\tau_k<\infty,\forall k\geq1)=1.$\\
$\displaystyle\because P(\tau_k<\infty,\forall k\geq1)=P(\bigcap_{k=1}^{\infty}\tau_k<\infty)\geq \varliminf_kP(\tau_k<\infty)$.\\
$\because P(\tau<\infty)=1,\therefore 1\geq P(\tau_k<\infty,\forall k\geq1)\geq \varliminf_kP(\tau_k<\infty)=1$\\
$\therefore P(s_n=0,i.o)=1$.\\
$(2)\Rightarrow(3):$若(2)成立，则有：$\displaystyle\infty=\sum_{k=1}^{\infty}1_{\{s_k=0\}}=\sum_{k=1}^{\infty}1_{\{\tau_k<\infty\}}$\\
$\therefore E(\sum_{k=1}^{\infty}1_{\{s_k=0\}})=E(\sum_{k=1}^{\infty}1_{\{\tau_k<\infty\}})$\\
所以(3)成立。\\
$(3)\Rightarrow(1):\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}P(s_n=0)=\infty\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}P(\tau_k<\infty)=\infty$\\
$\because \sum_{k=1}^{\infty}P(\tau_k<\infty)=\frac{P(\tau<\infty)}{1-P(\tau<\infty)}$(这里我们利用了$P(\tau_k<\infty)=(P(\tau<\infty))^k$).\\
$\therefore P(\tau<\infty)=1$.\#\\
由上面引理的结果，为证明命题，我们只需证明当维数不超过2时，对于简单对称随机徘徊成立：$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}P(s_{2k}=0)=\infty$\\
d=1:$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}P(s_{2k}=0)=\sum_{k=1}^{\infty}C_{2k}^{k}\frac1{2^{2k}}\thicksim\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{\sqrt{k}}=\infty$\\
d=2:$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}P(s_{2k}=0)=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{j=0}^k\frac{(2k)!}{j!j!(k-j)!(k-j)!}4^{-2k}=\sum_{k=1}^{\infty}4^{-2k}(C_{2k}^{k})^2\thicksim\sum_{k=1}^{\infty}\frac1k=\infty$
\end{proof}

\subsection{方法1}
\subsubsection{算法设计}
\subsubsection{程序代码}
\subsection{方法2}
\subsubsection{算法设计}
\subsubsection{程序代码}

\section{文献的主要内容}
\subsection{Haar小波}
\subsection{连续小波变换}
\subsection{离散小波变换}
\subsection{多分辨率分析及Mallat算法}
\subsection{紧支撑双正交小波的构造}
\subsection{小波分析与傅里叶分析的比较}
\subsection{blabla}
\subsection{blabla}


\section{基本方法与实现细节}
\subsection{离散小波变换与连续小波变换}

\begin{lstlisting}[numbers=left, numberstyle=\tiny, frame=shadowbox]



\end{lstlisting}

\subsection{信号的分解与重构}
\subsection{信号压缩}
\subsection{信号去噪}

\section{应用数值算例}
\subsection{离散小波变换与连续小波变换}
下面是装雪花分形vonkoch信号，并进行连续小波变换的例子，程序如下：
\begin{lstlisting}[numbers=left, numberstyle=\tiny, frame=shadowbox]
%载入实际信号
load vonkoch;
lv = 510;
signal = vonkoch(1:lv);
subplot(3,1,1),plot(signal,'b');grid on;
set(gca,'XLim',[0 510])
title('被分析的信号');
xlabel('Time (or Space)')
ylabel('振幅')
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%执行离散5层sym2小波变换
%这里的层数1-5分别对应尺度2,4,6,16,32
[c,l] = wavedec(vonkoch,5,'sym2');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%扩展离散小波系数进行画图
%这里的层数1-5分别对应尺度2,4,6,16,32

cfd = zeros(5,lv);
for k = 1:5
    d = detcoef(c,l,k);
    d = d(:)';
    d = d(ones(1,2^k),:);
    cfd(k,:) = wkeep1(d(:)',lv);
end
cfd =  cfd(:);
I = find(abs(cfd)<sqrt(eps));
cfd(I) = zeros(size(I));
cfd = reshape(cfd,5,lv);
cfd = wcodemat(cfd,64,'row');
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
subplot(3,1,2),colormap(pink(64));
img = image(flipud(wcodemat(cfd,64,'row')));
set(get(img,'parent'),'YtickLabel',[]);
title('离散变换，系数绝对值');
ylabel('层数');

%执行连续小波sym2变换,尺度1-32
subplot(3,1,3);
ccfs = cwt(vonkoch,1:32,'sym2','plot');
title('连续变换，系数绝对值');
colormap(pink(64));
ylabel('尺度');
\end{lstlisting}
运行结果如下图所示：
\begin{center}
\includegraphics[width=13cm]{0.png}
\end{center}


\subsection{信号压缩}
下面的例子使用小波分析对给定的信号进行压缩处理。在下面的例子中，使用函数wdcbm()获取信号的压缩阈值，然后采用函数wdencmp()实现信号的压缩。
程序如下：
\begin{lstlisting}[numbers=left, numberstyle=\tiny, frame=shadowbox]
load nelec;
%装载信号
index=1:1024;
x=nelec(index);
[c,l]=wavedec(x,3,'haar');
%用小波haar对信号进行3层分解
alpha=1.5;
[thr,nkeep]=wdcbm(c,l,alpha);
%获取信号压缩的阈值，wdcbm返回阈值和系数个数（1-D小波降噪Birge-Massart策略）
[xd,cxd,lxd,perf0,perfl2]=wdencmp('lvd',c,l,'haar',3,thr,'s');
%对信号进行压缩
subplot(2,1,1);
plot(index,x);
title('原始信号');
subplot(2,1,2);
plot(index,xd);
title('压缩后的信号');
\end{lstlisting}

结果如下图所示：

%\begin{figure}
%  \centering
%  % Requires \usepackage{graphicx}
%  \includegraphics[width=8cm]{1.png}\\
%  \caption{}\label{fig.1}
%\end{figure}

\includegraphics[width=13cm]{1.png}

我们可以使用函数ddencmp()获取信号的压缩阈值，然后采用函数wdencmp()实现信号的压缩。
程序如下：
\begin{lstlisting}[numbers=left, numberstyle=\tiny, frame=shadowbox]
load nelec;
%装载信号
index=1:1024;
x=nelec(index);
[c,l]=wavedec(x,5,'haar');
%用小波haar对信号进行5层分解
[thr,nkeep]=ddencmp('cmp','wv',x);
%获取信号压缩的阈值，ddencmp 获取默认值阈值（软或硬）熵标准
xd=wdencmp('gbl',c,l,'haar',5,thr,'s',1);
%对信号进行压缩
subplot(2,1,1);
plot(index,x);
title('原始信号');
subplot(2,1,2);
plot(index,xd);
title('压缩后的信号');
\end{lstlisting}

结果如下图所示：

\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{2.png}
\end{center}


\subsection{信号去噪}
下面的例子利用小波分析对污染信号进行去噪处理，以恢复原始信号。程序如下：
\begin{lstlisting}[numbers=left, numberstyle=\tiny, frame=shadowbox]
load leleccum;
s = leleccum(1:3920);
ls = length(s);
% 画出原始信号
subplot(2,2,1);
plot(s);
title('原始信号');grid;
% 用db1小波对原始信号进行三层分解并提取系数
[c,l] = wavedec(s,3,'db1');
ca3 = appcoef(c,l,'db1',3);
cd3 = detcoef(c,l,3);
cd2 = detcoef(c,l,2);
cd1 = detcoef(c,l,1);
% 对信号进行强制去燥处理并且图示结果
cdd3 = zeros(1,length(cd3));
cdd2 = zeros(1,length(cd2));
cdd1 = zeros(1,length(cd1));
c1 = [ca3 cdd3 cdd2 cdd1];
s1 = waverec(c1,l,'db1');
subplot(2,2,2);
plot(s1);
title('强制去噪后的信号');grid;
%用默认阈值对信号进行去噪
%用ddencmp()获得信号的默认阈值，使用wdencmp()命令函数实现去噪过程
[thr,sorh,keepapp] = ddencmp('den','wv',s);
s2 = wdencmp('gbl',c,l,'db1',3,thr,sorh,keepapp);
subplot(2,2,3);
plot(s2);
title('默认阈值去噪后的信号');grid;
%用给定的软阈值进行去噪处理
cd1soft = wthresh(cd1,'s',1.456);
cd2soft = wthresh(cd2,'s',1.823);
cd3soft = wthresh(cd3,'s',2.768);
c2 = [ca3 cd3soft cd2soft cd1soft];
s3 = waverec(c2,l,'db1');
subplot(2,2,4);
plot(s3);
title('给定软阈值去噪后的信号');grid;

\end{lstlisting}
信号去噪结果如下图所示：
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{3.png}
\end{center}

下面的例子用小波分析对含噪正弦波进行去噪。程序如下：
\begin{lstlisting}[numbers=left, numberstyle=\tiny, frame=shadowbox]
%生成正弦信号
N=1000;
t=1:N;
x=sin(0.03*t);
%加噪声
load noissin;
ns=noissin;
%显示波形
subplot(3,1,1);
plot(t,x);
title('原始信号');
subplot(3,1,2);
plot(ns);
title('含噪信号');
%小波去噪
xd=wden(ns,'minimaxi','s','one',5,'db3');
subplot(3,1,3);
plot(xd);
title('去噪信号');
\end{lstlisting}
信号去噪结果如下图所示：
\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{4.png}
\end{center}
我们可以清晰的看到，去噪之后的信号图像大体上与原来信号一致，而且明显去掉了噪音的干扰。但是去噪后的信号与原始信号相比，有着明显的改变。这主要是由于在去噪处理过程中所用的分析小波和细节系数阈值不恰当所致。在matlab的小波工具箱中，设置软阈值或硬阈值的函数为wthresh(),该函数根据参数sorh的值计算分解系数的软阈值或者硬阈值。其中硬阈值对应于最简单的处理方法，软阈值具备很好的数学特性，并且更能得到可用的理论结果。




\section{小波分析现存问题与展望}

\section{其他5篇文献的综述}


\begin{thebibliography}{}

\end{thebibliography}
\section{附录}

\clearpage
\end{document}