方法四 基本不等式法
基本不等式法解圆锥曲线中的最值和范围问题
解题步骤：
第一步 将所求最值的量用变量表示出来，
第二步 用基本不等式求这个表达式的最值，并且使用基本不等式求出最值.
【例】已知椭圆：的一个焦点为
，左右顶点分别为
，
. 经过点
的直线
与椭圆交于
，
两点.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）当直线的倾斜角为
时，求线段
的长；
（Ⅲ）记与
的面积分别为
和
，求
的最大值.
【解析】
（I）因为为椭圆的焦点，所以
，
又，所以
，
所以椭圆方程为.
（Ⅱ）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为
，
所以直线方程为，和椭圆方程联立得到
，消掉
，得到
，
所以，
，
，
所以
（Ⅲ）当直线无斜率时，直线方程为
，
此时，
，
，
面积相等，
当直线斜率存在（显然
）时，设直线方程为
，
设，
，
和椭圆方程联立得到，
消掉，得到
，
显然，方程有根，
且，
此时
，
因为，
，（
时等号成立），
所以的最大值为．
