如何利用基本不等式求平面向量的最值？

利用基本不等式求平面向量的最值

平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.

方法一利用基本不等式求平面向量的最值

使用情景：一般平面向量求最值问题

解题步骤：

第一步利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；

第二步运用基本不等式求其最值问题；

第三步得出结论.

【例1】设 $M$ 是 $\triangle ABC$ 内一点，且 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}$ ， $\angle BAC=30^\circ$ ，定义 $f(M)=(m,n,p)$ ，其中 $m$ ， $n$ ， $p$ 分别是 $\triangle MBC$ ， $\triangle MCA$ ， $\triangle MAB$ 的面积，若 $f(M)=\left(\dfrac{1}{2},x,y\right)$ ，则 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}$ 的最小值是（）

A．8

B．9

C．16

D．18

【答案】D

【解析】

因 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2\sqrt{3}$ ，故 $bc \cos A=2\sqrt{3}$ ，

即 $bc=4$ ，故 $S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2} \times 4 \times \dfrac{1}{2}=1$ ，

由题设可得 $x+y+\dfrac{1}{2}=1$ ，即 $x+y=\dfrac{1}{2}$ ，

所以 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}=2(x+y)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}\right)$

$=2\left(1+4+\dfrac{y}{x}+\dfrac{4x}{y}\right) \geqslant 2(5+2 \times 2)=18$

故应选D.

【总结】本题以三角形为背景,通过定义一个新概念的形式精心设置了一道探求最小值的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,特别是题设中的 $f(M)=\left(\dfrac{1}{2},x,y\right)$ ,解答时先运用向量的数量积公式,求出三角形的面积 $S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2} \times 4 \times \dfrac{1}{2}=1$ ,再由 $f(M)=\left(\dfrac{1}{2},x,y\right)$ 构建方程 $x+y=\dfrac{1}{2}$ ,然后在运用变形巧妙地求出 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}$ 的最小值为 $18$ .

【例2】如图所示，已知点 $G$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，过点 $G$ 作直线与 $AB$ ， $AC$ 两边分别交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}$ ， $\overrightarrow{AN}=y\overrightarrow{AC}$ ，则 $x+2y$ 的最小值为（）

A． $2$

B． $\dfrac{1}{3}$

C． $\dfrac{3+2\sqrt{2}}{3}$

D． $\dfrac{3}{4}$

【答案】C

【解析】

因为 $M$ ， $N$ ， $G$ 三点共线，

所以 $\overrightarrow{MG}=\lambda \overrightarrow{GN}$ ， $\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AM}=\lambda (\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AG})$ ，

因为 $G$ 是 $\triangle ABC$ 的重心，

所以 $\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$ ，

$\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})-x \overrightarrow{AB}=\lambda\left[y\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\right]$ ，

所以 $\begin{cases}\dfrac{1}{3}-x=-\dfrac{1}{3} \lambda \\\dfrac{1}{3}=\lambda y-\dfrac{1}{3} \lambda\end{cases}$ ，

化简得 $(3x-1)(3y-1)=1$ ，

由题目所给图象可知 $\dfrac{1}{2} \leqslant x \leqslant 1$ ， $\dfrac{1}{2} \leqslant y \leqslant 1$ ，

由基本不等式得 $2=(3x-1)(6y-2) \leqslant \left(\dfrac{3x-1+6y-2}{2}\right)^2$

即 $3(x+2y)-3 \geqslant 2\sqrt{2}$ ， $x+2y \geqslant \dfrac{3+2\sqrt{2}}{3}$

当且仅当 $3x-1=6y-2$ ，即 $x=\dfrac{\sqrt{2}+1}{3}$ ， $y=\dfrac{\sqrt{2}+2}{6}$ 时，等号成立

故最小值为 $\dfrac{3+2\sqrt{2}}{3}$ .

【总结】本题考查了平面向量的线性运算的应用及共线定理的应用，同时考查了基本不等式在求最值中的应用.由题意可得 $\overrightarrow{MG}=\lambda \overrightarrow{GN}$ ，利用三角形重心的向量表示，化简可得 $(3x-1)(3y-1)=1$ .然后利用基本不等式来求得最值.在利用基本不等式时，所用的公式是 $ab \leqslant \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$ ，需要先配一下系数，使得基本不等式满足一正、二定、三相等.

如何利用基本不等式求平面向量的最值？

方法一 利用基本不等式求平面向量的最值

方法一利用基本不等式求平面向量的最值