第五章本征值与本征向量

title: 第五章本征值与本征向量
category: 笔记
date: 2019/10/11
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这一章起V是F上的有限维非零向量空间。

5.1 不变子空间

1. $对于V的子空间U，T|_{U}是U的算子当且仅当U在T下是不变的。$

2.空间的不变：如果对于每个 $u\in U都有Tu\in U,则称U在T下是不变的。$

算子：映射空间和原空间是同一空间的线性映射。

3.对于 $T\in \mathcal{L}(V)$ 是不是一定有不同于 $\{0\}和V$ 的不变子空间呢？
对于维数大于1 的复向量空间上的算子和维数大于2的实向量空间上的算子都有肯定的答案．

V的一维子空间：任取非零向量 $u\in V$ ,并设U等于 $u$ 的标量倍之集：

$5.2 \\ U=\{au:a\in F\}$

若 $u\in V且U在T\in \mathcal{L}(V)下是不变的，则有Tu含于，那么定有\lambda\in F,使得Tu=\lambda u.$ (5.3)

反之 $对于V中的非零向量u，有\lambda \in F,使得Tu=\lambda u.那么的一位子空间U在T下是不变的$

此时对于非零向量 $u$ ,称 $\lambda为T的本征值(eigenvalue)$ ,T有一维不变子空间当且仅当T有本征值。

$依据Tu=\lambda u得到(T-\lambda I)u=0.那么有特征值则有T-\lambda I不是单的，不可逆，不是满的(因为是算子，满足一个就满足另外两个。)$

$u为T的本征向量(eigen vector)$ , $依据(T-\lambda I)u=0，那么对应\lambda 的u的集合等于null(T-\lambda I),并且本征向量的集合也是V的子空间。$

本征值意味着在某些子空间中与线性映射起到相同的运算作用。
而满足本征值作用的对应向量既是本征向量。

5.6定理

设 $T \in \mathcal{L}(T),\lambda_1,\dots,\lambda_m是T的互不相同的本征值$ , $v_1,\dots,v_m是相应的非零本征向量，则(v_1,\dots,v_m)线性无关。$

5.9推论

V 上的每个算子最多有 $dim\ V$ 个互不相同的本征值。

5.2 多项式对算子的作用

算子的幂运算： $T^m=T\cdots T.$

那么为了方便就定义 $T^0为V上的恒等算子I$

$T的逆为T^{-1}，T^{-m}=(T^{-1})^m$

既然T满足幂运算，那么也就满足交换运算了。

5.3 上三角矩阵

5.10定理

有限维非零复向量空间上的每个算子都有本征值。

关于算子的映射方阵

设 $T\in \mathcal{L}(V),且(v_1,\dots,v_n)是V的基，则对每个k=1,\dots,n都有Tv_k=a_{1,k}v_1+\dots+a_{n,k}v_n,$
其中 $a_{j,k}\in F,j=1,\dots,n.下面的n\times n矩阵称为T关于基(v_1,\dots,v_n)的矩阵，即为\mathcal{M}(T,(v_1,\dots,v_n))$ 如果基是明显的简记为 $\mathcal{M}(T)$
$\left[ \begin{matrix} a_{1,1}& \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n,1}& \cdots & a_{n,n} \end{matrix} \right]$
线性代数有个中心目标就是让 $\mathcal{M}(T)有很多个0$ ，那么通过本征值与本征向量就能够使矩阵有更多的 $0$ .

上三角矩阵

典型形式：
$\left[ \begin{matrix} \lambda_1& & * \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_n \end{matrix} \right];$

首先:定义和公理是任何理论的基础，定义解决了概念的范畴，公理使得理论能够被人的理性所接受。
其次:定理和命题就是在定义和公理的基础上通过理性的加工使得理论的再延伸，我认为它们的区别主要在于，定理的理论高度比命题高些，定理主要是描述各定义（范畴）间的逻辑关系，命题一般描述的是某种对应关系（非范畴性的）。而推论就是某一定理的附属品，是该定理的简单应用。
最后:引理就是在证明某一定理时所必须用到的其它定理。而在一般情况下，就像前面所提到的定理的证明是依赖于定义和公理的。

5.12命题

设 $T\in \mathcal{L}(V),并且(v_1,\cdots,v_n)是V的基，则下列等价：$
(a) $T关于基(v_1,\cdots,v_n)的矩阵是上三角的；$
(b) $Tv_k \in span(v_1,\cdots,v_k),k=1,\cdots,n;$
(c) $span(v_1,\cdots,v_k)$ 在T下是不变的， $k=1,\cdots,n.$

5.13 定理：

设V是复向量空间，并设 $T\in \mathcal{L}(V),则T关于V的某个基具有上三角矩阵。$

5.14 $Tu_j=(T|_U)(u_j)\in span(u_1,\cdots,u_j)$

5.15 $Tv_k\in span(u_1,\cdots,u_m,v_1,\cdots,v_k).$

5.16命题：

假设 $T\in \mathcal{L}(V)关于V的某个基有上三角矩阵，则T可逆当且仅当这个上三角矩阵对角线上的元素都不是0$

5.17
$\mathcal{M}(T,(v_1,\cdots,v_n))=\left[ \begin{matrix} \lambda_1& & & * \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots & \\ 0 & & & \lambda_n \end{matrix} \right]$

5.18命题：

设 $T\in \mathcal{L}(V)关于V的某个基有上三角矩阵，则这个上三角矩阵对角线上的元素恰好是T的所有本征值。$

5.4 对角矩阵

对角线以外的元素全是 $0$ 的方阵。

算子 $T\in \mathcal{L}(V)关于V的某个基有对角矩阵当且仅当V有一个由T的本征向量组成的基。$

并非每个算子都关于某个基有对角矩阵：
5.19 $T(w,z)=(z,0),T\in \mathcal{L}(C^2)$$0$ 是唯一的本征值。

5.20命题：

若 $T\in \mathcal{L}(V)有 dim\ V 个互不相同的本征值，则T关于V的某个基有对角矩阵。$

5.21命题：

设 $T\in \mathcal{L}(V),并设\lambda_1,\cdots,\lambda_m是T的所有互不相同的本征值，则下列等价：$
(a)T关于V的某个基有对角矩阵；
(b)V有一个由T的本征向量组成的基；
(c)V有在T下不变的1维子空间 $U_1,\cdots,U_n,$ 使得 $V=U_1\oplus \cdots \oplus U_n;$
(d) $V=null(T-\lambda_1I)\oplus \cdots \oplus null(T-\lambda_mI);$
(e) $dim\ V=dim\ null(T-\lambda_1I)+\cdots+ dim\ null(T-\lambda_mI).$

5.5 实向量空间的不变子空间

5.24 定理：

在有限维非零实向量空间中，每个算子都有1维或2维的不变子空间。

$P_{U,W}称为到U上的带零空间W的投影 projection.$

设 $V=U\oplus W,则 v\in V,可以唯一写成 v=u+w,其中u\in U,w\in W.$
$定义P_{U,W}\in \mathcal{L}(V), P_{U,W}v=u.$

上面的定义是空间W到U的投影，其中v使用投影规则会映射到u.

即可以把v拆成u部和w部，那么U在前得u部，W在前得w部。

根据定义可得： $v=P_{U,W}v+P_{W,U}v$ , $P^2_{U,W}=P_{U,W}$
$range\ P_{U,W}=U,null\ P_{U,W}=W.$

5.26 定理

在奇数维实向量空间上，每个算子都有本征值。

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