监督学习应用与梯度下降
分类问题：离散变量
回归问题：连续变量
回归方法
问题
有一个房屋销售的数据：
是否可以根据这样的数据预测未来的房价？
plot:
m:训练样本数目
x:输入变量（特征）
y:输出变量（目标变量）
（x,y）:样本
i(th):第i个训练样本
(x(i),y(i)):训练样本中的第i行，第i列
监督学习过程（模型）
1、先找到一个训练集合（training set）
2、传给一个学习算法（Learning algorithm）
3、产生一个输出函数（h）,称之为假设
4、向h传入一个输入特征x，。得到映射的一个y。
线性回归
线性回归假设特征和结果满足线性关系。
用x1,x2,...xn描述特征里面的分量。
x1:表示房间的面积
x2:表示房间的数量
根据以上，可以得到一个估计函数：
令x0=1，向量表示即
Theta's are called parameters.
该怎样来选取theta的值，来让假设h对所有房屋做出准确的预测呢？
在给定的训练集合里区域训练得出h,在训练数据上尽可能准确。
给定一些特征x，以及一些正确的价格y，希望取得预测和实际价格的平方差尽可能的小。
为了以上，用预测值减去实际值，得到一个better的结果，。
该函数是对x(i）的估计值与真实值y(i)差的平方和，1/2
是为了在求导时方便计算。
调整theta使得j(theta)取得最小值。则该问题归结为求极小值问题。
可用的方法：最小平方回归、最小二乘。
梯度下降法（下山速度最快问题）
（上学期的工程优化刚学过。。。）
1、先对theta随机赋值，也可以是0向量。
2、改变theta的值，使得j(theta)按梯度下降的方向进行减少。
梯度方向由j(theta)对jtheta的偏导数确定，由于求的是极小值，因此梯度方向是偏导数的反方向。
结果为：
矩阵计算：
迭代更新的方式有 两种，一种是批梯度下降，也就是对全部的训练数据求得误差后再对theta进行更新，另外一种是增量梯度下降，每扫描一步都要对theta进行更新。前一种能够不断收敛，后一种方法结果可能不断在收敛处徘徊。
一般来说，梯度下降法收敛速度还是比较慢的，。
另一种直接计算结果的方法是最小二乘法。
