EE103(5)：使用线性代数知识进行弹道计算

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仿真

实验原理

建模

假设一个物体在二维平面中移动。对位置和速度在\tau=0,h,2h,...上进行采样。

  • 长度2向量p_t是\tau=0,h,2h,...,(T-1)h时刻的位置向量
  • 长度2向量v_t是\tau=0,h,2h,...,(T-1)h时刻的速度向量
  • 长度2向量f_t是\tau=0,h,2h,...,(T-1)h时刻施加于物体的作用力向量
  • 长度4向量
    在这里插入图片描述
    是\tau=0,h,2h,...时刻的物体状态

作用力的计算

f_t=mg-\eta(v_t-\omega)

  • \omega为风速
  • \eta(v_t-\omega)为阻力

状态转移

p_{t+1}=p_t+hv_t，v_{t+1}=v_t+\frac{h}{m}f_t

综合得v_{t+1}=(1-\frac{h\eta}{m})v_t+(hg+\frac{h\eta\omega}{m})

建立状态转移模型x_{t+1}=Ax_t+b，下角标表示某一维度

在这里插入图片描述

实验步骤与结果

仿真参数：m=5\quad T=100\quad h=0.1\quad \eta=0.05\quad p_0=0

分别选取\theta为30°、45°、80°，v为50、75、100，\omega（[x,y]）为[0,0]、[-10,0]、[-10,-10]，得到结果如下

在这里插入图片描述

实验分析

相同v和\omega条件下，不同发射角度会产生不同发射距离，\theta=45°时发射距离最远

相同v和\theta条件下，不同发射速度会产生不同发射距离，v越大发射距离越远

\omega不同方向上分量大小，会影响不同方向上的运动距离

制导问题

实验原理

已知初始点p_0和目标点p_T，给定h,m,\omega,\eta，寻找合适的v_0

x_T可以表示为

在这里插入图片描述
，其中
在这里插入图片描述

F表示了初始状态对最终状态的作用，j表示了运动过程中重力与风的作用

单看p_T，即x_T的前两位，则有

在这里插入图片描述
，其中是的左上分块，是的右上分块，是长度4向量j的前两位，使用该式子可以解出

在这里插入图片描述

实验步骤与结果

改变\omega，令目标点分别为[100,0]、[200,0]、[300,0]，计算所需发射速度

在这里插入图片描述

实验分析

目标点y轴分量一致且子弹飞行时间一致时，发射速度y轴分量一致

子弹飞行时间一致时，目标点x轴分量越大，发射速度x轴分量越大

\omega不同方向上分量大小，会影响不同方向上的发射速度

鲁棒的制导问题

实验原理

对于一组给出的\omega和\eta测量数据，通过最小二乘法求取最合适的v_0

目标函数：
在这里插入图片描述

使用共轭梯度下降法对目标函数进行优化

实验步骤与结果

随机生成10组\omega和\eta，以[0,0]为起点，[200,0]为目标点，生成目标函数，用共轭梯度法优化目标函数解出合适的v_0。以v_0为初速度，在不同\omega和\eta情况下的运动轨迹如图所示

在这里插入图片描述

实验分析

使用最小二乘法，将v_0的两个分量视为两个自变量，构造残差函数，可以计算出最适合的v_0，使得在不同外界条件影响下，最终落点尽可能接近目标点

三维空间的情况

对于三维空间，只需要将长度2向量扩增为长度3向量即可。相应地，A、b、C、d也需要进行扩增。

3D仿真

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3D制导问题

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3D鲁棒制导问题

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