今天数学复习了二次型的内容，以下是今日的总结

首先要分清二次型、标准型和规范型，二次型全都可以化为标准型，用可逆变换法，包括配方法和正交变换法，同一个二次型有多种不同的标准型的形式，但是只有一种规范型的形式。

标准型可以决定正负惯性指数，根据惯性定理，正负惯性指数是不变的，两个正负惯性指数一样的矩阵是合同的。

①正交变换的方法，最后只有一种形式，系数是特征值

正交相似对角化，先求出特征值再求出特征向量，然后用叉乘法进行正交化，然后单位化，得到正交矩阵Q。

X=QY，把f(x1,x2,x3……)用y表示出来，就是最后化成的标准型。

②配方法，很灵活，系数各种各样。

从x1开始配方，如果里面没有平方项，令x1=y1+y2，x2=y1-y2,x3=y3，强行配出平方项。还可以配两次，x=cy,y=bz,x=cbz。

【注意】：配方项配出来以后一定要检验矩阵C是不是可逆的！

③相似、合同和等价

相似优先级最高，相似必定合同，合同必定等价

相似是存在可逆矩阵P使得P逆AP=B；合同是存在可逆矩阵使得PTAP=B，等价是指存在可逆矩阵使得PAQ=B

相似意味着特征方程式相同，特征值相同，迹和行列式相同，秩相同。

合同意味着正负惯性指数相同，而由于相似矩阵的特征值相同，因此正负惯性指数必定相同。

等价意味着秩相同，秩=p+q，因此合同的矩阵秩必等价

④正定矩阵

对不全为零的x,二项式恒大于零。

充分必要条件：特征值全大于零；顺序主子式全大于零；正惯性指数为N;A与E合同，即A=DTD，D为可逆矩阵；

必要条件：迹大于零，特征值大于零

A\B正定，则A+B也正定

A正定，则A*，A的k次幂，A逆都大于零（用特征值都大于零证明）

【做过的题中的小注意事项】：

r(aTa)=1，证明一个二次型在正交变换下的标准型就是求它的特征向量