性质：

1、唯一性；

2、局部有界性；

$lim_{x \to x_0}f(x)=A，则存在正常数M和\delta，使得当0<|x-x_0|<\delta时，有|f(x)|\leq M$

极限附近有界

3、局部保号性

保正保负，不保零
去极限等： $lim_{n \to \infty} x_n > lim_{n \to \infty} y_n \Rightarrow n$ 足够大， $x_n > y_n$

加极限等：n足够大 $x_n > y_n \Rightarrow lim_{n \to \infty} x_n \ge lim_{n \to \infty} y_n$

无穷小

定义：趋近于0

比阶

x-> $x_0$ ,f(x)->0,g(x)->0,比较f( $x_0$ )和g( $x_0$ )，可以通过算出 $\lim_{x \to x_0}{f(x) \over g(x)}$ 的大小来比较。

if $\lim_{x \to x_0}{f(x) \over g(x)}$ = 0，称f(x)是g(x)的==高阶无穷小==（f(x)快），记作f=o(g)，所以== $\lim_{x \to x_0}{o(g) \over g(x)}$ =0==

= $\infty$ ，称f(x)是g(x)的低阶无穷小（f(x)慢）

=C $\not=$ 0，称f(x)是g(x)的同阶无穷小（f(x)和g(x)的速度差不多）

=1，称f(x)是g(x)的==等价无穷小==（f(x)和g(x)一样快）

等价无穷小 $\subset$ 同阶无穷小

性质：

吸收律：吸收高阶，==保留低阶==。要求几个项都趋近于无穷小。

eg.x $\to 0,x+x^2+x^3+x^4$ ~x

高阶无穷小（o(x)）运算法则

吸收律

$o(x^2)+x(x^4)=o(x^2)$

叠加律

$o(x^n)*x^m=o(x^{m+n})$

$o(x^n)*o(x^m)=o(^{m+n})$

归一律

$o(x^n)=k*o(x^n)=o(k*x^n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k\not=0$

有界变量*无穷小=无穷小

无穷大

定义：负无穷和正无穷的统称

关系：

（1）无穷小和无穷大互为倒数

（2）无穷大 $\subset$ 无界

比阶

同类比阶： $x->\infty,m>n,x^m+x^n$ ~ $x^m$ 即 $x^m >>_{（远远快于）} x^n$

异类比阶： $x \to \infty \ \ \ \ \ \ ln^\alpha x <<_{（远远小于）} x^\beta <<_{（远远小于）}a^x\ \ \ \ \ (\alpha>0,\beta>0,a>1)$ （远远小于）

只与函数类型有关

==性质==

（1）划掉加减中的常数

（2）幂函数，保高幂数

（3）对指幂，均为无穷时，保右

极限定型

极限：未定式（ $0 \over 0$ ， $\infty \over \infty$ ， $0*\infty,\infty-\infty,1^\infty,0^0,\infty^0$ ）

已定式：除以上7中未定式的极限，直接把点带入计算即可

求函数极限的方法

等价无穷小替换

替换定理：只能用于乘除的替换。

若f~g,则 $lim f*h \to lim g*h \ \ \ \ \ \ lim \frac{f}{h} \to lim \frac{g}{h}$

==常见等价无穷小==

$x \to 0时：$

sinx ~ x arcsinx ~ x tanx ~ x arctanx ~ x

$e^x$ -1 ~ x ln(1+x) ~ x $(1+x)^\alpha$ -1 ~ $\alpha x$ 1-cosx ~ $\frac{1}{2}x^2$ x-sinx~ $\frac{1}{6}x^3$

ps: $e^x$ -1 ~ x( $a^x$ -1 ~ xlna): $a^x=e^{lna^x}=e^{xlna}$ so $a^x$ -1 ~ xlna

极限四则运算

定理：

极限存在，limf=A，limg=B

lim(f+g)=A+B

lim(f-g)=A-B

lim(f * g)=A * B

lim $\frac{f}{g}$ = $\frac{A}{B}$

==技巧==

乘除非零提前代

加减存在（极限）提前拆

洛必达法则

定理：

若

1、 $lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}为\frac{0}{0}或\frac{\infty}{\infty}型$

2、 $在x_0$ 的某去心领域内，f(x),g(x)均可导且 $g'(x)\not = 0$

PS:f(x)在 $x_0$ 有倒数不等于f(x)在 $x_0$ 的去心领域内可导

3、 $lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A(或\infty)$

$则lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=A(或\infty)$

使用：

可以用于等价替换，不用管是乘除还是加减

泰勒公式

f(x)在 $x_0$ 处的n阶泰勒展开公式：

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+……+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n]$

$o[(x-x_0)^n]$ ：皮亚诺余项（误差）

麦克劳林公式

即f(x)在x=0处展开的泰勒公式

$f(x)=f(0)+f'(0)*x+\frac{f''(0)}{2!}*x^2+\frac{f'''(0)}{3!}*x^3+……+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}*x^n+o(x^n)$

eg. $sinx=0+1*x+0*x^2-\frac{1}{3!}*x^3+o(x^3)=x-\frac{1}{3!}*x^3+o(x^3)$

==常见麦克劳林公式==

有规律：

$sinx=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\frac{1}{9!}x^9+o(x^9)$

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+o(x^5)$

$ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}+o(x^5)$

$arctanx=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+o(x^7)$

$cosx=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\frac{1}{6!}x^6+o(x^6)$

$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha -1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}x^3+o(x^3)$

没规律：

$arcsinx=x+\frac{1}{6}x^3+o(x^3)$

$tanx=x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)$

展开原则

A-B:

展开原则：相消不为0的最小展开

若A-B为无穷小，则将A-B用泰勒展化为等价无穷小

==常见：==

$x-sinx$ ~ $\frac{1}{6}x^3$ $x-arcsinx$ ~ $-\frac{1}{6}x^3$

$x-tanx$ ~ $-\frac{1}{3}x^3$ $x-arctanx$ ~ $\frac{1}{3}x^3$

$x-ln(1+x)$ ~ $\frac{1}{2}x^2$ $e^x - 1$ ~ $\frac{1}{2}x^2$

$\frac{A}{B}$

展开原则：上下同阶

三个禁忌

$\frac{0}{0},0*\infty,0^0,\infty^0$ 中的0不能提前代

抓大头仅适用于 $\frac{\infty}{\infty}$ 型且不能抓成0（抓大头：无穷大的性质）

$1^{\infty}$ 型中的1不能提前代

不定式解法

$\frac{0}{0}$

1、等价无穷小

2、泰勒展开

3、 $e^f-e^g=e^g(e^{f-g}-1)$

$\frac{\infty}{\infty}$

1、洛必达

2、抓大头

$0*\infty$

1、乘化除

$\frac{\infty}{\frac{1}{0}} = \frac{\infty}{\infty}$

$\frac{0}{\frac{1}{\infty}}=\frac{0}{0}$

==2、等价无穷小替换==

3、函数增长速度（对指幂）

==4、 $lim_{x \to 0^+}xlnx = 0$ ==

$\infty - \infty$

减化除：

1、分数通分

2、二次根式有理化（三次根式可用拉格朗日中值定理）

3、换元（ $t=\frac{1}{x}$ ：倒代换或 $t=e^x$ ：指数换元）

$0^0、\infty^0$

幂指函数：形如 $f(x)^{g(x)}$ （f(x)>0）

幂指化指公式： $f^g=e^{glnf}$

1、lim glnf=A

2、 $limf^g=lime^{glnf}=lim e^A$

$1^\infty$

1、凑 $lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$

2、算 $limg(f-1)$ ，然后得 $limf^g=lime^{glnf}=lime^{gln(1+f-1)}=limx^{g(f-1)}$

考试

单侧极限的情形：

1、分段函数：分段点左右两侧的解析式不同

2、arctan $\infty$ ， $-\infty和+\infty$ 的极限不同要分开讨论，eg： $lim_{x \to \infty}f(arctanx)\ \ \ lim_{x \to 0}f(arctan \frac{1}{x})$

3、 $e^\infty$ ， $-\infty和+\infty$ 的极限不同要分开讨论，eg： $lim_{x \to \infty}f(e^x)\ \ \ lim_{x\to0}f(x^{\frac{1}{x}})\ \ \ lim_{x \to \infty}f(e^{-x})$

极限结果：

1、A(常数)

2、 $\infty$

3、极限震荡不存在(sin $\infty$ 、cos $\infty$ )

sin $\infty$ 、cos $\infty$ :有界变量；极限震荡不存在

4、左右极限不相等，极限不存在( $lim_{x \to 0}\frac{|x|}{x}$ )

函数极限

性质：

无穷小