第一节 函数
（一）、函数的概念以及常见函数
1.函数的概念
定义1、若对于每个数x∈D，变量y按照一定的规则总有一个确定的y和它对应，则称x是y的函数，记为y=f(x)，常称x为自变量，y为因变量，D为定义域
2.一些常用的函数
①符号函数
②取整函数
表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，其基本不等式
③狄里克雷函数
3.复合函数
定义2、设y=f(u)的定义域为Df，u=g(x)的定义域为Dg，值域为Rg,若Df∩Rg≠∅，则称函数y=f[g(x)]为函数y=f(u)和u=g(x)的符合函数，其定义域为{x|x∈Dg，g(x)∈Df}
4.反函数
定义3、设函数y=f(x)的定义域为D，值域为Ry，若对任意y=Ry，有唯一确定的x∈D，使得y=f(x)，则记为x=f-1(y)并称其为y=f(x)的反函数
- 单调函数一定有反函数（反之不对）
- 在同一坐标系中y=f(x)和x=f-1(y)的图形重合，y=f(x)和y=f-1(x)的图形关于直线y=x对称
- f1-[f(x)]=x f[f-1(x)]=x
5.初等函数.
定义4、将幂函数（y=xμ）、指数函数（y=ax），对数函数（y=logax），三角函数（y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx），反三角函数（y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx）称为基本初等函数【熟记图像，定义域值域】
（二）、函数的性质
1.单调性
若对于区间I上任意两点x1<x2恒有f(x1)<f(x2)单调增，f(x1)>f(x2)单调减
2.奇偶性
设y=f(x)的定义域D关于原点对称，∀x∈D，f(x)=f(x)偶函数，f(x)=-f(-x)奇函数
奇+奇=偶 偶+偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇
设y=f(x)可导，f(x)是奇函数→f'(x)是偶函数，f(x)是偶函数→f'(x)是奇函数
常见的奇函数：
3.周期性
若存在T>0,对于任意x，恒有f(x+T)=f(x),则称y=f(x)为周期函数，使上式成立的最小正数T称为最小正周期
- 若y=f(x)以T为周期，则f(ax+b)以T/|a|为周期
- 周期函数的充要条件使在其一个周期上的积分为0
- sinnx当n为奇数的时候T=2π，当n为偶数的时候T=π
- 若y=f(x)以T为周期，则f'(x)也以T为周期，而积分不一定
4.有界性
若存在M>0,使得对任意的x∈X，恒有|f(x)|≤M，则称f(x)在x上为有界函数
第二节 极限
(一)、极限的概念
1、数列
∀ε>0,∃N>0，当n>N时，恒有|Xn-A|<ε
- 原数列有极限⇿部分列都有极限且相等
- 若
，则
，反之不成立
2、函数
- 自变量趋向正无穷大
∀ε>0,∃x>0，当x>X时，恒有|f(x)-A|<ε
- 自变量趋向负无穷大
∀ε>0,∃x>0，当x<-X时，恒有|f(x)-A|<ε
- 自变量趋向无穷大
∀ε>0,∃x>0，当|x|>X时，恒有|f(x)-A|<ε
- 自变量趋向有限值
∀ε>0,∃δ>0，当0<|x-x0|<δ时，恒有|f(x)-A|<ε
x→x0但x!=x0，如sin(xsin1/x)/xsin1/x不存在，当x=1/nπ的时候无意义
分段函数要讨论在x0+和x0-的存在情况，e∞限要讨论正无穷和负无穷的情况
(二)、极限的性质
1、有界性
- 数列：如果数列{xn}收敛(xn→a)，那么数列{xn}一定有界
- 函数：若在x趋向x0的时候极限f(x)存在，则f(x)在x0某去心邻域内有界
2、保号性
- 数列：设
若A＞0(或A<0)，则存在N>0,当n>N时，xn>0(或xn<0)
若存在N＞0，当n>N时，xn≥0(或xn≤0)，则A≥0(或A≤0)
- 函数：设
- 若A＞0(或A<0)，则存在δ>0,当x∈U(x0,δ)时，f(x)>0(或f(x)<0)
- 若存在δ>0，当x∈U(x0,δ)时，f(x)≥0(或f(x)≤0)，则A≥0(或A≤0)
3、极限和无穷小的关系
(三)、极限存在准则
1、夹逼准则(n项和的极限)
若存在N：当n>N时，xn≤yn≤zn，且
则
2、单调有界准则（递推关系式的数列极限）
单调有界数列必有极限
(四)、无穷小量
1、概念
- 高阶无穷小：若
则称α(x)是β(x)的高阶无穷小，记为α(x)=o[β(x)]
- 低阶无穷小：若
则称α(x)是β(x)的低阶无穷小
- 同阶无穷小：若
则称α(x)是β(x)的同阶无穷小
- 等价无穷小：若
则称α(x)是β(x)的等阶无穷小，记为α(x)~β(x)
特别地，若
则称α(x)是β(x)的k阶无穷小
2、性质
- 有限个无穷小的和仍是无穷小
- 有限个无穷小的积仍是无穷小
- 无穷小与有界变量的乘积仍是无穷小
(五)、无穷大量
1、常用的无穷大量比较
- 当x→∞时， lnαx<<xβ<<ax,其中α>0,β>0,a>1
- 当n→∞时， lnαn<<nβ<<an<<n!,其中α>0,β>0,a>1
2、性质
- 有限个无穷大的积仍是无穷小
- 无穷大与有界变量的和仍是无穷小
3、无穷大量和无界变量的关系
- 数列{xn}是无穷大量：∀M>0,∃N>0，当n>N时，恒有|xn|>M
- 数列{xn}是无界变量：∀M>0,∃N>0，使得|xn|>M
4、无穷大量和无穷小量的关系
在同一极限过程中，如果f(x)是无穷大，则1/f(x)是无穷小。反之，如果f(x)是无穷小，且f(x)≠0，则1/f(x)是无穷大
(六)、求极限
1、常用的基本极限
2、“1∞”
若limα(x)=0，limβ(x)=∞，且limα(x)β(x)=A，则limα(x)β(x)=eA
3、利用等价无穷小
乘除关系可以换：α(x) ~ α1(x) ，β(x)~ β1(x)，则limα(x)/β(x)=limα1(x)/β(x)=limα(x)/β1(x)=limα1(x)/β1(x)
加减关系在一定条件下可以换α(x)~ α1(x)，β(x) ~ β1(x)，且limα1(x)/β(x)=A≠1，则α(x)-β(x)~ α1(x)-β1(x)
且limα1(x)/β(x)=A≠-1，则α(x)+β(x)~ α1(x)+ β1(x)
常用的等价无穷小：
x~ sinx~ tanx~ arcsinx~ arctanx~ ln(1+x)~ ex-1
ax-1~lna (1+x)α-1~αx 1-cosx~x2/2
x-sinx~ arcsinx-x~x3/6
tanx-x~ x-arctanx~x3/3
x-ln(1+x)~x2/2
4、洛必达法则
若limf(x)=limg(x)=0(∞)，且f(x)和g(x)在x0的某去心领域内可导，且g’(x)≠0，limf'(x)/g'(x)存在(或无穷)，则
- f(x)n阶可导：最多洛必达用到n-1阶，剩下的用导数的定义
- 若f(x)n阶连续可导：最多洛必达用到n阶
5、利用泰勒公式求极限（带有佩亚诺余项的泰勒公式）
其中Rn(x)=o(x-x0)n
6、利用夹逼原理求极限
常用的不等式：
- x/(1+x)<ln(1+x)<x
- sinx<x<tanx
- x-1<[x]≤x
7、利用单调有界准则求极限(xn+1=f(xn))
- 利用单调有界准则证明极限存在
- 设limxn=a，解方程
8、利用定积分定义求极限
第三节 函数的连续性
(一)连续性的概念
定义1、若
则称y=f(x)在点x0处连续
(二)间断点及其分类
1、间断点的定义
若f(x)在x0的某去心领域内有定义，但在x0处不连续，则称x0为f(x)的间断点
2、间断点的分类
- 第一类间断点：左右极限均存在的间断点
- 可去间断点：左极限=右极限
- 跳跃间断点：左极限≠右极限
- 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在
(三)连续性的运算与性质
定理1、连续函数的和、差、积、商仍为连续函数
定理2、连续函数的复合仍为连续函数
定理3、基本初等函数在其定义域内是连续的
定理4、初等函数在其定义区间内是连续的
(四)闭区间上连续函数的性质
若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有界
若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值
若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，则对f(a)与f(b)任意数C，至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=C
若f(x)在[a,b]上连续，且f(a)*f(b)=0，则必存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0
