离散时间傅里叶变换

回顾离散时间周期信号傅里叶级数

${\boxed{x[n] = \sum_{k=<N>} a_ke^{jk\frac{2\pi}{N}n}\\ a_k = a_{k\pm mN} = \frac 1N \sum_{n=<N>}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}}}$

离散时间非周期信号傅里叶变换

考虑某一序列 $x[n]$ 具有有限持续期，即在 $-N_1 \leq n \leq N_2$ 以外 $x[n]=0$ 。这个非周期信号可以构成一个周期信号 $\tilde x[n]$ ， $x[n]$ 是它的一个周期。
$\tilde x[n] = \sum_{k=<N>} a_k e^{jk(2\pi / N)n}$
$a_k = \frac 1N \sum_{n = <N>} \tilde x[n]e^{-jk(2\pi/N)n} = \frac 1N \sum_{n=\infty} x[n]e^{-jk(2\pi/N)n}$
定义 $X(e^{jw}) = \sum_{n=\infty}x[n]e^{-jwn}$
其中 $a_k = \frac 1N X(e^{jkw_0})$
$\tilde x[n] = \sum_{k=<N>} \frac 1N X(e^{jkw_0})e^{jkw_0n} = \frac 1{2\pi} \sum_{k=<N>} X(e^{jkw_0})e^{jkw_0n}w_0$
当 $N->\infty$ ， $\tilde x[n]-> x[n]$ ， $w_0->0$
$x[n] = \frac 1{2\pi} \int_{2\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw$
${\boxed{x[n] = \frac 1{2\pi} \int_{2\pi}X(e^{jw})e^{jwn}dw\\ X(e^{jw}) = \sum_{n=\infty}x[n]e^{-jwn}}}$

例子

考虑信号 $x[n] = a^nu[n], |a|<1$ 的傅里叶变换
$X(e^{jw}) = \sum_0^{\infty} (ae^{-jw})^n=\frac 1{1-ae^{-jw}}$

image.png
考虑方波信号 $x[n] = \left\{ \begin{array}\ 1 && |n| \leq N_1\\ 0 && other\\ \end{array} \right.$ 的傅里叶变换
$X(e^{jw}) = \sum_{n=-N_1}^{N_1}e^{-jwn} = \frac{sinw(N_1+1/2)}{w/2}$

image.png

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