作者：我爱小猪    公众号：情人节的一束玫瑰

诗经.蒹葭

蒹葭苍苍，白露为霜。所谓伊人，在水一方。

溯洄从之，道阻且长。溯游从之，宛在水中央。

蒹葭萋萋，白露未晞。所谓伊人，在水之湄。

溯洄从之，道阻且跻。溯游从之，宛在水中坻。

蒹葭采采，白露未已。所谓伊人，在水之涘。

溯洄从之，道阻且右。溯游从之，宛在水中沚。

《蒹葭》是一首爱情诗，生动了描写了恋爱中一个痴情人对朝思暮想的意中人遍寻不得的曲折和惆怅。对于每一位立志学好电信专业的学子而言，这傅里叶变换便如那位可望而不可即的伊人，既让人无限牵挂，又让人难以捉摸。每当想起了傅里叶变换，心中便不由的升起一片迷惘与感伤的情调。

十九世纪的欧洲大陆可谓群星闪耀，能人辈出。在法拉第出生前二十三年（1768年），另一个伟大的人物巴普蒂斯·约瑟夫·傅立叶出生于法国中部欧塞尔一个贫苦的裁缝家中。可就是这样一个贫苦的家庭也没有维持多久，这个可怜的男孩子9岁时就成了孤儿，被当地的教堂收养。稍大一点主教便送他地方军校读书。1798年，三十岁的傅里叶跟随著名的拿破仑皇帝远征埃及，3年后回国任伊泽尔省地方长官。

当了官的傅里叶并没有放弃自己的追求，他开始利用自己的业余时间，研究当时的世界性难题——热传导问题。1807年，经过7年（一段足以让一个人从小白成为专家的时间）的认真研究，傅里叶发现了热传导中的一些规律，并写成了论文《热的传播》，在论文中傅里叶推导出著名的热传导方程，率先提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数的概念。然而，这篇论文投到法国科学院后，并没有被认同，拉格朗日、拉普拉斯和勒让德作为审稿人，认为论文中的一些推导不够完善，拒绝发表。傅里叶被拒稿后没有灰心，而是进行了更细致深入的研究，4年后，这篇修改稿再度被递交给法国科学院，并获得了科学院大奖。之后，傅立叶又将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论，并于1822年出版了专著《热的解析理论》(Theorieanalytique de la Chaleur ，Didot ，Paris，1822)。这部经典著作三角级数后来就以傅立叶的名字命名，这就是著名的傅里叶变换。

可见，这傅里叶变换原本为了研究热传导问题而提出的，是泊松和高斯将傅里叶变换引入了电学；不像法拉第一开始就奠定了电信的基础，这便是把傅里叶放在法拉第之后的原因。然而，当傅里叶变换一旦引入了电信学科，便成为电信学子心中永远的痛。

第一次知道傅里叶，是在学习高等数学的时候，那时候只知道傅里叶级数的一些基本公式，可以说除了知道这个名字，并不知道还有什么意义；

第二次相遇，是在学习电路分析的时候。那时候我们已经习惯了处理线性系统，也知道利用相量法来处理单频正弦信号。我们开始知道可以利用傅里叶级数把周期信号进行分解从而利用叠加原理当作多个单频信号进行处理；当然我们也可以用傅里叶变换把随时间变换的信号变成频域信号从而更方便信号的处理。但我们并不知道具体该怎么做。

第三次相遇，是在信号与系统。这时候傅里叶变换从幕后来到台前，成为课程的主角，我们花了很多的力气去了解去学习，但对傅里叶变换的认识，似乎还停留在只知道它能够实现从时域到频域的变换；只知道利用它复杂的卷积运算可以被频域相乘替换；如何还有一点那便是知道无论是频域还是时域，同一个信号的总能量不可能变换；我们觉得自己已经非常努力，可是知道的也就是这么多。

后来，我们与傅里叶变换接触的机会越来越多，在数字信号处理里见过，在通信原理里见过，其实，如果认真的想想，我们也许会发现，在任何一个有频域的地方，傅里叶变换都曾经出现过，然而每一次出现，却又带给我们不一样的感觉。

傅里叶变换似乎总在我们身边，可是上穷碧落下黄泉，却总是难以捉摸这傅里叶变换的种种内涵。

无数的人讨论过傅里叶变换，但总是剪不断理还乱，才刚刚掀起她的面纱，倏忽又遍寻不见。那么为什么会这样呢？

首先给大家科普一下什么是傅里叶变换。

你听过钢琴曲吗？当你打开音响的时候，一首优美的钢琴曲就随着时间的推移慢慢的播放出来，这音乐有时候低缓，有时候激昂，一段时间过去了，这首曲子也播完了。有些音响功能很强大，在播放音乐的时候，还可以看到一个指示灯随着声音的高低舒缓不停的变化起伏。想到这些我们就不难理解，这些曲子的音调高低是随着时间在变换的，用一个专业的术语来说，曲子是时间的函数，对应于每个时间点，有不同的音调。

但是我们还知道，对于专业钢琴家来说，不管在什么时间，TA都能用钢琴复现这个曲子，复现的时候，TA是按照琴键也就是音阶来的。那也就是说曲子和音阶直接是有联系的，所以曲子也是音阶的函数。

既然同一首曲子即是时间的函数，又是音阶的函数，那么这两者之间比如产生一种联系。如果你还知道音阶的不同主要是因为琴键抖动频率的不同产生的，那么傅里叶变换几乎就呼之欲出了。是的，直观的说傅里叶变换就是力图找出这同一个曲子的时间和频率联系的一种变换。

这种转换有个高大上的名字叫做时-频转换，傅里叶变换就是把时域信号转换成频域信号，反傅里叶变换就是把频域信号转回时间信号。

那么什么是时域，什么是频域？时域就是信号的大小随着时间变换的关系，就是把信号表示成一个时间的函数f(t)，横轴是时间，纵轴是幅值;什么是频域？频域是信号由那些频率的正弦信号叠加而成，横轴就是频率，纵轴是对应于这个频率的信号幅度。

先从一个单频正弦信号开始理解吧。单频正弦信号是一个在时间上无限延展的周期信号，也就是说只要知道了这个信号的幅度和频率特征，也就可以完全的恢复出这个信号。当时间的无限延长作为默认条件时，信号的幅度和频率是最重要的信息，所以经过傅里叶变换后，这个正弦信号在频域上横轴就是一个频点，纵轴就是信号在这个频率上的振荡幅度，这就是信号的频域特性。

当这个信号不是单频正弦信号，而是一个有周期重复的信号，怎么找到信号的频率特性？其实也很简单。首先周期重复，说明时间可以无限延展。信号既然可以周期(周期为T)重复，那么在用三角函数重构这个周期信号的时候，那些单频正弦信号的周期会是这个待复现周期信号周期的整倍数（nT）。所以，周期信号的频域特性是一些离散的频率点，可以称为谱线，这些频点的间隔是周期的倒数（当频率的单位是赫兹时，这个值是1/T）。这些谱线的高低与什么有关呢？与周期信号的形状有关。周期信号单周期波形决定了整体的幅频特性包络，这个包络中是一些离散的谱线，谱线的间隔是周期信号周期的倒数1/T。这时仍然默认时间是无限延展的。

当信号只在有限时间内持续的时候怎么办呢？这时候可以这样认为，一个周期重复的时间函数与一个时间窗函数在时域上相乘，时域的相乘对应于频域的卷积，因此这时候信号的频谱特性是这个周期重复信号的频谱与时间窗函数频谱的卷积。单周期波形决定了整体的幅频特性包络，这个包络中是一些离散的谱线，谱线的间隔时间窗T的倒数1/T，在这些离散谱线上，还需要卷积上窗函数的频谱特性。

其实任何一个持续时间为T的时间窗函数，对应的都是一个单边带宽为1/T的低通滤波，且这个滤波器的包络是sin(x)/x形的。

当这个时间函数不是在连续时间存在的，而是以时间间隔t0进行采样的结果，那么这个采样时间又怎么在频谱图中体现呢？仍是按照时间窗的概念去理解，只是这时候时间窗小到极点，成为一个抽样函数。这个原来连续信号的频谱在这个抽样函数频谱的卷积作用下，被离散化了，谱线的间隔就是抽样间隔的倒数。

在讲了这么多之后，您一定会问，这个傅里叶变换看起来也挺麻烦的，为什么要变来变去呢？

任何一个信号从一个点传送到另一个点，都需要一个通路，这个通路可以叫做信道，也可以叫做传输系统，这两个名字只是在不同环境下的称呼罢了。当信号通过系统传输的时候，一定会有些变化，比如打电话的时候，对方听到的声音会和你说话的时候略有不同。

我们总是想知道信号通过一个特定系统的时候，到底会出来一个什么结果，这种想法在数学上表达的时候，就叫做卷积。但是卷积是一种很麻烦的运算。就像我们开车从甲地到乙地，走国道一样，运算很慢。

而如果能够变换到频域，就像把车开到了高速公路上。在频域计算的时候，相当知道了信号是由哪些频率分量组成的，系统就相当于是滤波器（任何一个系统都可以视为滤波器），这时候信号通过系统之后，系统觉得好的，就会留下，系统觉得没用的就给滤掉了。所以在接收机可以很明确的知道还剩下那些成分。这种运算，只需要用乘法就可以实现。当然这种优势是有代价的，那就是信号通过系统之前要交费，就是进行傅里叶变换，而离开系统之后也要付费，就是进行傅里叶反变换。整个这个过程，只考虑频率的特性，时间跑到哪里去了？是不是真的和时间无关了？当然不是，时间默认就是无限延长，如果不是，那么想办法等效成无限延展就行了。

所以傅里叶变换，相当于抛开了信号的时间观念（默认时间无穷），只考虑了决定信号最重要的幅度和频率特性，自然就简化了很多。

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