平面几何

一、平行直线

1.一直线和平行线夹的角

image.png

∠1与∠4是同位角，同位角相等；
∠2与∠4是内错角，内错角相等；
∠1与∠2是对顶角，对顶角相等（两条直线相交一定会产生对顶角）；
∠3与∠4是同旁内角，同旁内角互补.

互补:相对概念关系，一个平角被一个射线分为两部分，则两部分角度互为补角，相加为180°
∠1+∠3=180° ∠1是∠3的补角

互余: 相对概念关系，一个直角被一分为2，则两部分角度互余，两个角度相加为90°，则互余。
∠A+∠B=90° ∠A是∠B的补角

2.直线被一组平行线截得的线段成比例

image.png

二、三角形

1.三角形分类

根据角度将三角形分类：

  • 钝角三角形:△中有一个角为钝角时，90°<钝角<180°
  • 直角三角形:△中有一个角为直角时，直角=90°
  • 锐角三角形:△中三个内角均为锐角时，0°<锐角<90°

2. 三角形内角之和

∠1 +∠2 +∠3=π 三角形的外角等于不相邻的两个内角之和.

三角形外角之和为360°

3. 三角形三边关系

任意两边之和大于第三边，即a+b>c.
任意两边之差小于第三边，即a-b<c.
作用:
①利用三边关系判断三个长度是否可以组成三角形
②已知两个边长，求第三边的取值范围

4.三角形中位线

连接三角形两边中点的[线段]
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一


image.png

5.三角形面积

5.1 基本面积公式

已知底和高：S=\frac{1}{2}ah

已知两边和夹角：S=\frac{1}{2}absinC（C是ab边所夹的角）

已知三边（秦九韶公式）：S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}，其中p=\frac{1}{2}(a+b+c)

5.2底边共线高相同的模型:

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S_{△ABC}:S_{△ACD}=\frac{1}{2}BC·h：\frac{1}{2}CD·h = BC：CD
共顶点、底边共线，则面积比=底之比

5.3底边相同而高不同的模型

image.png

S_{△ABC}:S_{△ACD}=\frac{1}{2}AC·h_1：\frac{1}{2}AC·h_2 = OB：OD

三角形面积比=高之比

5.4 平行直线之间的三角形

如果两个三角形底高均相同，则面积相等
平行直线之间的垂线段均相同


image.png

S_{△ACD}=S_{△BCD}
共用△OCD
S_{△AOD}=S_{△BOD}

5.5 特殊三角形面积

直角三角形
勾股定理：a^2+b^2=c^2
常用勾股数：

  • 3,4,5
  • 6,8,10
  • 5,12,13
  • 7,24,35
  • 8,15,17
  • 9,12,15

等腰直角三角形的三边之比为:1:1:\sqrt{2}

等腰直角三角形的面积为:S=\frac{1}{2}a^2=\frac{1}{4}c^2（a为直角边，c为斜边）

内角为30°、60°、90°的直角三角形三边之比为1:\sqrt{3}:2

等边三角形
等边三角形高与边的比为\sqrt{3}:2=\frac{\sqrt{3}}{2}:1

等边三角形的面积为S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2,其中a为边长

等边三角形高（中线长）:\frac{\sqrt{3}}{2}a

5.6 鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫作共角三角形.
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.

如图，在△ABC与△ADE中，∠A的正弦值相同，所以△ABC：△ADE = (AB·AC)：（AD·AE）

image.png

5.7 燕尾定理

image.png

在三角形ABC中， AD, BE, CF相交于同一点O,
那么 S_{△ABO}：S_{△ACO} = BD：DC
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为△ABO和△ACO的形状很像燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径

5.8 塞瓦定理

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\frac{BD}{DC}·\frac{CE}{EA}·\frac{AF}{FB} = 1

5.9 全等与相似

全等
(1) 定义
两个三角形形状相同，大小相同，则称两者全等.

(2) 判别
可以通过 边边边(SSS), 边角边(SAS), 角边角(ASA), 角角边(AAS) 来判断

(3) 性质
如果两个三角形全等，则对应边、对应角、面积均相等。用数学语言表达就是两个三角形等价，这样的两个三角形具有相同的边长、角、面积等

(4) 应用
当出现折叠、对称、旋转时，可以用全等分析.

相似
(1) 定义
两个三角形形状相同，大小成比例，则称两者相似.

(2) 判断
只要有两组内角对应相等即可

(3) 性质
相似三角形(相似图形)对应边的比相等(即为相似比)，\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k

相似三角形(相似图形)的高、中线、角平分线的比也等于相似比

相似三角形(相似图形)的周长比等于相似比，即\frac{c_1}{c_2}=k

相似三角形(相似图形)的面积比等于相似比的平方，即\frac{S_1}{S_2}=k^2

二、四边形

1.平行四边形

平行四边形两边长是a，b,如以a为底边的高为h 面积为S = ah，周长C=2(a+b)

image.png

特点

  • 边的关系：AB平行且相等于CD
  • 角的关系：邻角互补
  • 对角线的关系：对角线AC、BD相交且平分!
  • 对角线交点O为中心对称点
  • 经过中心O点的直线一定平分平行四边形
  • 对角线相交将平行四边形分为了面积相等的四个三角形
  • S_{△AOB}=S_{△AOD}=S_{△COD}=S_{△BOC}=\frac{1}{4}S 平行四边形

面积求法

image.png

  • S=ah
  • S=ab·sinα
  • S=\frac{1}{2}AC·BD·sinβ

2.矩形

矩形两边长为a，b ；面积为S=ab, 周长C=2(a+b),对角线l=\sqrt{a^2+b^2}

(\frac{C}{2})^2=对角线^2+2S
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab

继承了平行四边形所有的性质

  • 角，每个内角均为90°
  • 对角线:对角线相等且平分

外接圆

image.png

R_外=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}=\frac{对角线}{2}

4.菱形

菱形四边边长均为a，以a为底边的高为h，面积为S=ah=\frac{1}{2}l_1l_2，其中l_1l_2分别为对角线的长，周长为C =4a

继承了平行四边形所有的性质

  • 相邻两边相等=四条边均相等
  • 对角线互相垂直且平分
  • 对角线的交点将菱形分为了4个全等的直角三角形

垂美四边形
四边形中对角线相互垂直的四边形 S=\frac{1}{2}l_1l_2

四边形的命名一般是ABCD,根据命名的四个点之间一定是连续的关系!

5.正方形

正方形四边边长均为a, 四个内角都是90。，面积为S=a^2,周长为C=4a.

继承了平行四边形所有的性质

  • 邻边垂直且相等
  • 内角均为90°
  • 对角线之间相等、垂直且平分
  • 对角线为内角的角平分线
  • 对角线交点0将正方形分为了4个全等的等腰直角三角形
  • 对角线长度=\sqrt{2}a
  • 对角线相连之后正方形内部共有8个等腰直角三角形

外接圆与内切圆

image.png

R_内=\frac{1}{2}a
R_外=\frac{\sqrt{2}}{2}a

6.梯形

梯形上底为a，下底为b，高为h，中位线l=\frac{1}{2}(a+b)，面积为S=\frac{1}{2}(a+b)h

  • 边的关系上底//下底
  • 角的关系同旁内角互补
  • 对角线交点0将梯形分为了固定比例的四块面积

image.png

△AOB∽△COD 得到

\frac{AB}{DC}:\frac{AO}{OC}:\frac{BO}{OD}=\frac{a}{b}

S_△AOB:S_△AOD=BO:OD=a:b

蝴蝶定理
S_△AOB:S_△AOD:S_△BOC:S_△COD=BO:OD=a^2:ab:ab:b^2
S看作(a+b)^2份

7.蝶形定理

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.
(1)任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)

image.png

\frac{S_1}{S_2}=\frac{S_4}{S_3}=\frac{OD}{OB}(同底等高三角形面积之比=底之比)
有：S_1·S_3=S_2·S_4

根据等比定理：
\frac{S_1}{S_2}=\frac{S_4}{S_3}=\frac{OD}{OB}=\frac{S_1+S_4}{S_2+S_3}
同理：
\frac{S_1+S_2}{S_4+S_3}=\frac{AO}{OC}

(2)梯形的蝶形定理及相似比例

image.png

\frac{S_1}{S_2}=\frac{S_4}{S_3}=\frac{OD}{OB}=\frac{a}{b}

S_1·S_3=S_2·S_4

\frac{S_1}{S_3}=\frac{a^2}{b^2}(面积之比=相似比的平方)

S_2+S_3=S_4+S_3 得到 S_2=S_4

S_1:S_3:S_2:S_4=a^2:b^2:ab:ab

在任意四边形中，对角线相连构成的四个三角形，都有 上✖️下=左✖️右

三、三角形的四心

1.内心

1.1内切圆的圆心

  • 三条角平分线的交点（角平分线的点到角两边的距离相等）
  • 内心到三边的距离相等
image.png

内心将三角形分成了3块，3个三角形面积成比例，面积之比=变成之比
S_{△AOB}:S_{△AOC}:S_{△BOC}=c:b:a

S_{△ABC}=\frac{1}{2}r_内(a+b+c)

  • 一般三角形内切圆半径：r_内=\frac{2S}{a+b+c}

r_内=\frac{2S}{C}=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{ab(a+b-c)}{(a+b+c)(a+b-c)}=\frac{ab(a+b-c)}{(a+b)^2-c^2}=\frac{ab(a+b-c)}{a^2+b^2-c^2+2ab}=\frac{a+b-c}{2}

  • 直角三角形内切圆半径：r_内=\frac{a+b-c}{2}（c为斜边）

r_内=\frac{2S}{C}=\frac{2·\frac{\sqrt{3}}{4}a^2}{3a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{3}=\frac{\sqrt{3}a}{6}

  • 等边三角形内切圆半径：r_内=\frac{\sqrt{3}a}{6}

2.外心

外接圆的圆心；三边中垂线的交点。

  • 外心到3个顶点的距离相等
  • 锐角三角形的外心在三角形内
  • 直角三角形的外心在斜边的中点
  • 钝角三角形的外心在三角形外

image.png

正弦定理：
在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R,则有：
\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R=D

通用三角形外接圆半径：r=\frac{abc}{4S}
由正弦定理：r=\frac{a}{2sinA}
三角形面积：S=\frac{1}{2}bcsinA
得到r=\frac{abc}{4S}

直接三角形外接圆半径：r=\frac{c}{2}
∠C=90°，sinC=1，2R=\frac{c}{sinC}=c,R=\frac{c}{2}

直接三角形斜边中点到各顶点距离相等

image.png

等边三角形外接圆半径：r=\frac{\sqrt{3}a}{3}

S_△=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 ，AD=\frac{\sqrt{3}a}{2}
R_外=AD-R_内=\frac{\sqrt{3}a}{2}-\frac{\sqrt{3}a}{6}=\frac{\sqrt{3}a}{3}

等边三角形中：
R_外:R_内=2:1
C_外:C_内=2:1
S_外:S_内=4:1

求中垂线

image.png

(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=(x-x_2)^2+(y-y_2)^2
(x-x_1)^2-(x-x_2)^2=(y-y_2)^2-(y-y_1)^2
(2x-x_1-x_2)(x_2-x_1)=(2y-y_2-y_1)(y_1-y_2)

3.重心

重心表示三条中线的交点
性质：

  • 重心将中线分成长度为2： 1的两段
  • 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2： 1
  • 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等
  • 在平面直角坐标系中， 重心的坐标是顶点坐标的算术平均值， 即(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3})
  • 重心到三角形3个顶点距离的平方和最小
  • 重心是三角形内到三边距离之积最大的点

4.垂心

三条高的交点

四、圆与扇形

1.角度弧度

把圆弧长度和半径的比值称为一个圆心角的弧度.
度与弧度的换算关系：
1弧度=\frac{180°}{\pi}
1°=\frac{\pi}{180}弧度

常用的角度与弧度对应关系:

角度 30° 45° 60° 90° 180° 360°
弧度 \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2} \pi 2\pi

2.圆

圆的圆心为O ， 半径为r， 直径为d,则
周长：C=2\pi r=\pi d
面积：S=\pi r^2=\frac{1}{4} \pi d^2

3.扇形

image.png
  • 劣弧：小于半周长的弧长\mathop{AB}\limits^{\frown}
  • 优弧：大于半周长的弧长\mathop{AOB}\limits^{\frown}

3.1 扇形弧长

l=r\theta=\frac{\alpha}{360}·2\pi r
其中\theta为扇形圆心角的弧度数， \alpha为扇形圆心角的角度， r为扇形半径.

3.2 扇形面积

S=\frac{\alpha}{360°}·\pi r^2 = \frac{1}{2}lr
其中\alpha为扇形圆心角的角度， r为扇形半径.

3.3 圆心角和圆周角的关系

弧的两个端点与圆心的连线构成的角度为圆心角
孤的两个端点与圆上弧以外的其他端点的任意一点连线构成的角度为圆周角

  • 圆心角=2圆周角
  • 圆心角具有唯一性
  • 圆周角可以有无穷多

扇形的核心参数:
①圆心角
②半径

多个扇形面积求解:
①若多个扇形的半径相同，则可以利用总圆心角对应求解
②若多个扇形的半径不同，则分别求解每个扇形面积再相加

image.png

S=\frac{\alpha+\beta}{360°}·\pi r^2=\frac{1}{2}(\alpha+\beta)r^2

圆环的面积可以看做梯形的面积求解

五、三角形定理及常用结论

1.勾股定理

如果直角三角形的两条直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么a^2+b^2=c^2
常见的勾股数

  • 3, 4, 5 ；
  • 6, 8, 10 ；
  • 5, 12, 13 ；
  • 7, 24, 25 ；
  • 8,15, 17

2.射影定理

image.png

CD⊥AB，则
CD^2=AD·BD
AC^2=AD·AB
BC^2=BD·BA

原理：来源于三角形相似

斜高关系：
a和b表示直角边， c表示斜边，h表示斜边上的高， 则h=\frac{ab}{c}

3.正弦定理

image.png

正弦定理：
在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R,则有：
\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R=D

正弦定理适用于两类解三角形问题

  • 已知三角形的任意两角和一边， 先求第三个角， 再根据正弦定理求出另外两边
  • 已知三角形的两边与其中一边所对的角， 先求另一边所对的角(注意此角有两解、 一解、 无解的可能)， 再计算第三个角， 最后根据正弦定理求出第三边

4.余弦定理

在△ABC中， 角A、B、C所对的边分别为a, b, c ,则有：
a^2=b^2+c^2-2bc·cosA
b^2=a^2+c^2-2ac·cosB
c^2=a^2+b^2-2ab·cosC

其变式为：
cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}

cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题

  • 已知三角形的两边及其夹角， 先由余弦定理求出第三边， 再由正弦定理求较短边所对的角(或由余弦定理求第二个角)， 最后根据“内角和定理” 求得第三个角
  • 已知三角形的三条边， 先由余弦定理求出一个角， 再由正弦定理求较短边所对的角(或由余弦定理求第二个角)， 最后根据“内角和定理” 求得第三个角

两角互补时， 正弦值相同， 余弦值互为相反数

5.中线定理

image.png

AD为BC 边上的中线，则有：
AB^2+AC^2=2(AD^2+BD^2)

6.角平分线定理

image.png

AD为∠BAC的角平分线， 则有：
\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}

证明：过点B作AC的平行线用相似法或用等面积法.

求角平分线长度

斯库顿定理：
AD^2=AB·AC-BD·DC

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