[数据结构4.1]二叉树

二叉树

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合

1、n=0时,二叉树为空

2、n>0时,由根结点和两个互不相交的被称为根的左子树和右子树组成。左子树和右子树叶分别是一棵二叉树。


二叉树和度为2的有序树

1、二叉树可以为空,而度为2的有序树至少有三个结点

2、二叉树的孩子结点始终有左右之分,而度为2有序树的孩子结点次序是相对的


满二叉树

一颗高度为h,且有2^h-1个结点的二叉树为满二叉树

对于编号为i的结点,若存在,其双亲的编号为[i/2],左孩子为2i,右孩子为2i+1


完全二叉树

设一个高度为h、有n个结点的二叉树,当且仅当其每个结点都与高度为h的满二叉树中编号1~n的结点一一对应时,称为完全二叉树


左:完全二叉树,右:满二叉树

完全二叉树性质:

1、若i<=n/2,则结点i为分支结点,否则为叶子结点

2、叶子结点只可能在层次最大的两层上出现。对于最大层次的叶子结点,都依次排在最左边的位置上。

3、度为1的结点若存在,则可能有一个,且是编号最大的分支结点,并孩子结点一定是左结点。


二叉排序树

一颗二叉树,若数非空,则具有如下性质:

对任意结点若存在左子或右子树。则其左子树上所有结点的关键字均小于该结点,右子树上所有结点的关键字均大于该结点。


二叉排序树


平衡二叉树

树上任意结点和左子树和右子树的深度之差不超过1


平衡二叉树


二叉树的性质

1、非空二叉树上的叶子结点数等于度为2的结点数加1,即n_{0}=n_{2}+1

2、非空二叉树上的第k层至多有2^k-1个结点(k>=1)

3、高度为h的二叉树至多有2^h-1个结点(k>=1)

4、结点i所在层次为\log_2 i +1

5、对完全二叉树从上到下,从左到右的顺序依次编号1,2,3,……,n,则有以下关系:

    5.1 当i>1时,结点i的双亲结点标号为i/2,即i为偶数时,其双亲结点编号为i/2,他是数亲结点的左孩子;当i为奇数时,其双亲结点的编号为(i-1)/2,他是双亲结点的右孩子

    5.2 当2i<=n时,结点i的左孩子编号为2i,否则无左孩子

    5.3 当2i+1<=n时,结点i的右孩子编号为2i+1,否则无右孩子

6、具有n个(n>0)结点的完全二叉树的高度为[\log_2 n]+1或\log_2 (n+1)




二叉树的顺序存储:用一组连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储完全二叉树上的结点元素

在完全二叉树中依次编号,对于结点i:若存在左孩子,则编号为2i;若存在右孩子,则编号为2i+1


满二叉树存储示例


非完全二叉树存储


顺序存储最坏情况会非常浪费存储空间,比较适合完全二叉树。




二叉树的链式存储:用链表来存放一颗二叉树,二叉树中每个结点用链表的一个结点来存储。

typedef struct BiTNode{

        Element data;

        struct BiTNode *lchild,*rchild;

}BiTNode,*BiTree;

含有n个结点的二叉链表中,有n+1个空链域。


链式二叉树
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