试题：

思考：本题是菱形为背景的几何综合题，菱形可以提供的信息很多，一般平行四边形具有的性质它都有，如对边平行且相等，对角线互相平分，同时邻边长相等可以得到等腰三角形，还有对角线互相垂直，以及每一条对角线平分一组对角等都是隐含的条件，一旦遇上新的条件，就会有各种结论可以得出。题干中出现BG平分∠CBE，于是，结合BD平分∠ABC，就可以证得∠DBG=90°，同时若连结对角线AC，可得AC∥BG，又BD⊥AC，所以也可以证得∠DBG=90°，当然，适当复杂一点，利用角平分线+平行=等腰也可。总之，第（1）题，只要从已知条件出发，通过做标记，稍作联想就可以证得。

同时，第一题的结论∠DBG=90°为第（2）题的求tan∠BDG，作了铺垫，而连结AC的辅助线，和利用角平分线+平行=等腰也为第（2）题的思路有所启发。

分析1：第（2）题的条件不多，分别是①BD=6，②DG=2GE，求tan∠BDG。

如果说第（1）题可以直接由已知条件用综合法推出的话，那么第（2）题就没那么简单了，估计得作辅助线，而且要用分析法，也就是要求tan∠BDG，还需要知道什么？但我们不妨从2个新的条件出发，根据经验，再作联想。

先看条件①BD=6。结合菱形边长AB=5，三角形ABD是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，有经验的同学会想起连结AC之后，三角形ABO是边长为3、4、5的Rt，顺带可知道∠OAB，∠OBA的三角函数值，甚至通过AC∥BG，可以知道∠GBE的三角函数值，说不定后面可用。同时，作DM⊥AB于点M，则利用等面积法，可以求出DM，BM的值，当然，如果设BM=x，也可以利用共用一直角边DM，两次勾股建立方程：，从而求出BM，先到此为止。

再看条件②DG=2GE。基本上是得出线段之比，当然，结合AC∥BG，以及OB=OD，则可得PD=PG=GE，以及BE=AB=5，进一步可得CDF≌BEF，于是CF=BF，PF=FG，进而CPF≌BGF，PC=BG=2PO，OP/PC=PC/AO=1/2，联想了那么多，能直接算出结论吗？也许可以了，因为AC=8，于是PC=，则BG=，所以tan∠BDG=。

但是，这么去联想，思路单一，过程复杂，还不一定能想到，所以建议分析法，从结论出发来分析。

分析2：要求tan∠BDG，一般有哪些途径呢？

常规思考：（1）求出BG；（2）直接求；（3）把∠BDG放在其它的Rt中，这三种比较集中。其实，一旦目标锁定求tan∠BDG，前面的很多思路就不会去想到，反而是以下的几种会聚焦。

（1）①角平分线+平行=等腰。可以求出BG；

②作GT∥BD交BE于点T，利用，可以求出GT=2 ，在RtBGT中，利用三角函数，可以求出BG;

③等积法求BG；

④用前面分析的方法。

（2）直接求；本题也是利用一线三垂直的基本图形构建辅助线；

（3）把∠BDG放在其它的Rt三角形中。

①tan∠BDG=tan∠ODP=；

②构建RtBEK，BE=5，利用三角函数或相似，可以求出EK=4，BK=3。

③构建RtDFH。

此外，也有老师用三角函数的和差公式，建立直角坐标线用函数解析式等，但要么超出了初中范围，要么不是核心方法所以不作推荐。