高等数学——空间解析几何与向量

1. 向量

1.1 方向角与方向余弦

非零向量 $r$ 与三条坐标轴的夹角 $\alpha,\beta ,\gamma$ 称为向量 $r$ 的方向角。
设 $r = (x, y ,z)$ ，从而
$(cos\,\alpha ,cos\,\beta ,cos\,\gamma) = (\frac{x}{|r|},\frac{y}{|r|}, \frac{z}{|r|}) = \frac{1}{|r|}(x, y ,z) = \frac{r}{|r|} = e_r$
$cos\,\alpha ,cos\,\beta ,cos\,\gamma$ 称为向量 $r$ 的方向余弦。上式表明，以向量 $r$ 的方向余弦为坐标的向量就是与 $r$ 同方向的单位向量 $e_r$ 。

1.2 数量积

定义 $a$ 和 $b$ 为两个向量， $\theta$ 为他们之间的夹角，则 $a$ 和 $b$ 的数量积定义为
$a\cdot b = |a|\,|b|\,cos\theta$
当 $a\neq0$ 时， $|b|\,cos \theta$ 是向量 $b$ 在向量 $a$ 的方向上的投影，用 $Prj_ab$ 来表示这个投影，便有 $a \cdot b = |a|\,Prj_ab$

1.3 向量积

定义设向量 $c$ 由两个向量 $a$ 和 $b$ 按下列方式定出：
$c$ 的模 $|c| = |a|\,|b|\,sin\theta$ ，其中 $\theta$ 为 $a,b$ 间的夹角
$c$ 的方向垂直于 $a$ 与 $b$ 所决定的平面（即 $c$ 既垂直于 $a$ ，又垂直于 $b$ ）， $c$ 的指向按右手规则从 $a$ 转向 $b$ 来确定，那么向量 $c$ 叫做向量 $a$ 与 $b$ 的向量积，记作 $a\times b$ ，即 $c = a\times b$

由向量积可以推出：
(1) $a\times a = 0$
(2) 对于两个非零向量 $a, b$ ，如果 $a\times b=0$ ，那么 $a//b$ ；反之，如果 $a//b$ ，那么 $a\times b=0$ 。也可表述为：向量 $a//b$ 的充分必要条件为 $a\times b=0$ 。

向量积符合下列运算规律：
(1) $b \times a = - a \times b$
(2) 分配律 $(a+b)\times c = a \times c + b \times c$
(3) 结合律 $(\lambda a)\times b = a \times (\lambda b) = \lambda (a \times b)\,\,(\lambda 为数)$

向量积的坐标表达式
设 $a = a_xi + a_yj + a_zk$ ， $b = b_xi + b_yj + b_zk$ ，
则 $a \times b = (a_yb_z - a_z b_y)i + (a_z b_x - a_x b_z)j + (a_x b_y - a_y b_x)k$ ，即
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k\\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$

2. 平面及其方程

2.1 平面的一般方程

任一平面都可以用三元一次方程来表示： $Ax + By + Cz + D = 0$
其中， $x,y,z$ 的系数就是该平面的一个法线向量 $n$ 的坐标，即 $n = (A, B, C)$ 。

2.2 两平面的夹角

两平面的法线向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角。

设平面 $\Pi_1,\Pi_2$ 的法线向量依次为 $n_1 = (A_1, B_1, C_1)$ 和 $n_2 = (A_2, B_2, C_2)$ ，
若 $\Pi_1,\Pi_2$ 相互垂直，则 $A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0$
若 $\Pi_1,\Pi_2$ 相互平行或重合，则 $\frac{A_1}{A_2} = \frac{A_1}{A_2} = \frac{A_1}{A_2}$

3. 空间直线及其方程

3.1 空间直线的一般方程

空间直线可以看做是两个平面 $\Pi_1,\Pi_2$ 的交线，如果两个相交平面的方程分别为 $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ 和 $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ ，则直线 $L$ 的方程为
$\left\{\begin{matrix} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{matrix}\right.\tag{1}$

3.2 空间直线的对称式方程和参数方程

如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量。

当直线 $L$ 上一点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$ 和它的一方向向量 $s=(m,n,p)$ 为已知时，直线 $L$ 的位置就完全确定了。设点 $M(x, y, z)$ 是直线 $L$ 上的任一点，那么向量 $\underset{M_0M}{\rightarrow}$ 与 $L$ 的方向向量 $s$ 平行，所以两向量对应坐标成比例，从而有 $\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p}\tag{2}$
方程 $(2)$ 称为直线的对称式或点向式方程。

设 $\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p} = t$
那么 $\left\{\begin{matrix} x = x_0 + mt\\ y=y_0 + nt\\ z = z_0 + pt \end{matrix}\right.\tag{3}$
方程 $(3)$ 称为直线的参数方程。

3.3 两直线的夹角

两直线的方向向量的夹角叫做两直线的夹角。

3.4 直线与平面的夹角

当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角 $\varphi (0\leqslant \varphi < \frac{\pi}{2})$ 称为直线与平面的夹角。

设直线的方向向量为 $s=(m,n,p)$ ，平面的法线向量为 $n = (A, B, C)$ ，则直线与平面垂直相当于
$\frac{A}{m} = \frac{B}{n} = \frac{C}{p}$
直线与平面平行或直线在平面上相当于
$Am+Bn+Cp = 0$

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