立体几何之目：2017年文数全国卷B题18

2017年文数全国卷B题18（12分）

如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC=\dfrac{1}{2}AD，\angle BAD=\angle ABC=90°.

（1）证明∶直线 BC // 平面 PAD;

（2）若 \triangle PCD 的面积为 2\sqrt{7} ，求四棱锥 P-ABCD 的体积.

2017年文科数学全国卷B

【解答第1问】

∵ \angle BAD=\angle ABC=90°, ∴ BC // AD, 又∵ AD \subset 平面 PAD, ∴ 直线 BC // 平面 PAD.

证明完毕.

2017年文数全国卷B题18

【解答第2问】

作 AD 中点 M，并连接 MP,MC,AC.

∵ AB=BC=\dfrac{1}{2}AD, \angle BAD=\angle ABC=90°,

∴ ABCM 是正方形， MA=MD=MC

底面ABCD

∵ PAD 是等边三角形，∴ PD=2MC, PM=\sqrt{3} MC

CD=\sqrt{2}MC

∵ PAD 为等边三角形, MA=MD, ∴ PM \perp AD

又∵ 侧面 PAD 垂直于底面 ABCD, ∴ PM \perp 面 ADC, ∴ PM \perp MC

∵ PM \perp MC, PM \perp AD, MA=MD=MC, PM 是公共边，

∴ \triangle PMA \cong \triangle PMC \cong \triangle PMD

∴ PC=PD

等腰三角形PAD

作 CD 中点 N 并连接 PN, 则 PN \perp CD

PN^2=PD^2-ND^2

PN=\sqrt{\dfrac{7}{2}} MC

S_{\triangle PCD}=\dfrac{1}{2} PN \cdot CD=\dfrac{\sqrt{7}}{2} MC^2

∵ S_{\triangle PCD}=2\sqrt{7}, ∴ MC=2.

∴ S_{ABCD}=6, PM=2\sqrt{3}

V_{P-ABCD}=\dfrac{1}{3} PM \cdot S_{ABCD} = 4 \sqrt{3}

【提炼与提高】

本题中，四棱锥的底面是一个梯形。但深入分析后，我们发现：\triangle ACD 是一个等腰直角三角形，\triangle PAD 是正三角形，而且这两个侧面是相互垂直的。所以，四面体 P-ACD 与2007年文数海南卷中的模型完全一致，也就是我们自命名的 『常用四面体I』。

注意以下三角形：\triangle PMA, \triangle PMC, \triangle PMD. 这三个全等的直角三角形构成了四面体 P-ABCD 的骨架。

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