高级计量经济学 10：大样本OLS(下)

此文内容为《高级计量经济学及STATA应用》的笔记，陈强老师著，高等教育出版社出版。

我只将个人会用到的知识作了笔记，并对教材较难理解的部分做了进一步阐述。为了更易于理解，我还对教材上的一些部分（包括代码和正文）做了修改。

仅供学习参考，请勿转载，侵删！

目录

• 5 大样本OLS
  • 5.7 大样本OLS的假定
    • 5.7.1 线性假定
    • 5.7.2 渐近独立的平稳过程
    • 5.7.3 前定解释变量
    • 5.7.4 秩条件
    • 5.7.5 鞅差分序列
    • 5.7.6 解释变量四阶矩存在
  • 5.8 OLS的大样本性质
    • 5.8.1 为一致估计量
    • 5.8.2 位渐近正态
    • 5.8.3 的一致估计
  • 5.9 线性假设的大样本检验
    • 5.9.1 单个系数的检验
    • 5.9.2 线性假设的检验

5 大样本OLS

5.7 大样本OLS的假定

5.7.1 线性假定

5.7.2 渐进独立的平稳过程（ergodic stationarity）

维随机过程 是渐进独立的平稳过程

5.7.3 前定解释变量（predetermined regressors）

所有解释变量均前定（predetermined），这就意味着他们与同期的扰动项正交，即 ， 。由于方程通常都有常数项，所以总可以假设 ，故：

这个 的假设跟严格外生性 是不一样的，后者可以推出前者

这意味着 与同期的扰动项 不相关，就好像 产生以前， 就已经被确定了一样，故名前定解释变量。如果定义：

那么我们就有：

这一点比小样本的严格外生性的要求更低，因为后者要求 与过去、现在、未来的所有 都不相关；而现在只要求 与现在的 不相关即可！

5.7.4 秩条件

阶矩阵 为非退化矩阵，从而 存在，这保证了 存在

5.7.5 鞅差分序列

要求 是一个鞅差分序列，而且其协方差矩阵

是一个非退化矩阵。

这个假设比 5.7.3 的假设更强。前定解释变量保证了 是一致估计量，而鞅差分序列则进一步地保证了其渐进正态

5.7.6 解释变量的四阶矩存在

这是一个数学技巧的假定，不用太在意。即 ， 存在且有限

我们发现，在上面的假定中，我们相比于小样本OLS，放松了：

• 严格外生性 -> 前定解释变量
• 正态随机扰动项 -> 独立平稳、鞅差分序列

这比小样本OLS的条件放宽了太多

5.8 OLS的大样本性质

为了便于使用渐近理论，我们需把估计量 写成 的函数。由于：

于是我们把 划为一组， 划为另外一组，并定义：

其中，由于数据矩阵 的结构是：

所以 就是：

同理 就是：

5.8.1 为一致估计量

在假设 5.7.1 到 5.7.4 （不包括 是鞅差分序列的情况下）下，有：

证明：抽样误差可以写为

其中， 是 的“均值”。我们的目标是证明 ，所以证明的思路是分别求 和 分别依概率收敛到什么。

假定 5.7.2 意味着随机序列 也是一个渐进独立的平稳序列，所以根据渐进独立定理：

如果 渐进独立且平稳，那么样本矩依概率收敛到总体矩

假定 5.7.4 意味着 存在，所以：

另外，由于 是 和 的函数。而 是一个渐进独立的平稳序列，从而 也是一个渐进独立的平稳序列，于是假定 5.7.3 意味着：

所以我们发现：

于是：

证毕。

5.8.2 为渐近正态

如果把 假定5.7.3（）强化为 假定5.7.5（），那么 是渐近正态分布：

其中 是 的渐近方差：

其中 是 的协方差矩阵：

证明：由于我们知道：

所以

根据 假定5.7.5 ， 是鞅差分序列，于是根据鞅差分序列的中心极限定理，我们有：

渐近独立的平稳的鞅差分序列 的样本均值以 的速度依分布收敛为均值为 协方差矩阵为 的正态分布

由于 是 的线性组合，所以它也会以 的速度依分布收敛为正态分布：

根据渐近正态的定义，那么 是渐近正态的。接下来我们计算 ：

由于 ，因此：

使用夹心估计量，

那么在 时， 和 分别收敛：

由于 是对称阵，所以 ，于是：

证毕。

我们发现，在这里不需要假设扰动项服从正态分布。这里的思路是：

• 我们假设 是渐近独立的平稳的鞅差分序列（假定5.7.5）
• 那么 依分布收敛到正态分布（鞅差分序列的中心极限定理）（这里是正态分布的来源）
• 建立起 与的 线性关系，那么 也依分布收敛到正态分布（正态分布的线性组合也是正态分布）（把要证明的目标绑到一个正态分布上）
• 也依分布收敛到正态分布本身就是 渐近正态的定义
• 下一步要计算 的方差
• 使用夹心估计量，并在 分别收敛
• 得证

5.8.3 的一致估计

如果存在 是 的一致估计量，那么 是 的一致估计，即：

证明：如果存在 ，已知 ，那么很自然地就有：

证毕。

为了求解 的一致估计量，我们要运用 假定5.7.6 ，从而可以证明（这个证明比较难，略）：

即 是 的一致估计量，其中 为最小二乘法的残差。可以进一步证明 是 的一致估计。

性质： 是无条件方差 的一致估计量

证明：由有关消灭矩阵的知识（见《高级计量5》3.3）：

继续计算下去：

由于我们知道：

其中，第二个等式运用了 是渐近独立的平稳列。 对 求 就有：

即 是 的一致估计量。

证毕。

5.9 线性假设的大样本检验

5.9.1 单个系数的检验

在原假设 成立的条件下，我们有：

其中， 是 的第 个元素，而 是协方差矩阵 的第 个元素。由于 我们是未知的，所以考虑用它的一致估计 来替代它。那么我们可以定义 统计量为：

注意，虽然叫 统计量，实际上服从的是渐近正态！

这里的思想是简单的，回忆对任意 ，都有 ，其实两者的结构是一样的。

当然，为了便于描述，我们可以对 做进一步变形：

那么我们就定义：

为异方差稳健的标准误（heteroskedasticiry-consistent standard erros），简称稳健的标准误（robust standard errors）。之所以这么称呼，是因为推导的过程中没有用到条件同方差的假定，所以在条件异方差下也能用。

性质：可以证明，在条件同方差的假设下，稳健的标准误退化为普通标准误

证明：如果假设 （条件同方差），那么使用迭代期望定律：

我们发现 ， ，所以：

于是：

写这么多 一方面是为了装逼

但更重要的是让你看明白这个代换是怎么来的😂

一定一定不要错过 的细节！

于是：

所以：

这就是普通的标准误了

证毕。

5.9.2 线性假设的检验

思路与小样本OLS是类似的，对零假设 ，我们实际上要衡量 与 的距离。可以证明，统计量 满足：

证明：令 ，令 ，那么现在

如果 成立，那么

由于我们知道 ，而 是 的线性组合，所以 也是依分布收敛于正态分布的。而且：

设 ，从而在 时：

定义 ，由于 ，所以

于是：

证毕。