假设圆周上有 个不同的点，在它们之间联结
条弦，使得每一个点都是其中一条弦的端，且任意两条弦都不相交。
例如，当 时，圆周上共有 4 个不同的点，依次用 1, 2, 3, 4 表示，在它们之间联结 2 条弦，则满足条件的联结有 (1, 2), (3, 4) 和 (1, 4), (2, 3)，共 2 种联结方式。
(1) 当 时，求满足条件的联结方式的种数；
(2) 已知满足要求的每一种联结方式出现的概率都相等。如 时，出现 2 种联结方式的概率均为
。对于任意给定的正整数
，记满足条件的联结方式中，共有
对相邻的两点相联结。
(i) 当 时，求
的分布列和数学期望；
(ii) 已知对任意随机变量 ，有
。记满足条件的联结方式总数为
，
的期望为
，求
（用
和
表示）。
【解答】
我们先研究n=2,最简单的情况，假设图片如下所示，我们看一下怎么连接第一条弦？
我们从A出发，显然只能把A和B相连，或者把A和D相连。不能连接A和C，因为如果连接AC之后，这条弦就把剩下的弦分成了1+1,也就是两个奇数，显然后续就无法操作了。即使是对于2n，这也应该是一个最基本的原理。我们每新画一条弦，只能把原来的点分成偶数+偶数的情况，才能保证不相交。
(1) 当 时，圆上有6个点，以 1, 2, 3, 4, 5, 6 表示：
由题意可知，我们任意连接一条弦，这条弦长的两侧不能分别剩余奇数个点。故 1 必不与奇数 3, 5 配对。
按点1 的配对情况，分为三类：
①1 与 2 配对：另 4 朵 3,4,5,6 的配对情况，同 时共有 4 朵花的配对方法数相同，故有 2 种方法；
②1 与 6 配对：由对称性可知同 1 与 2 配对的方法数，故有 2 种方法；
③1 与 4 配对：2 必与 3 配对，6 必与 5 配对，故只有 1 种方法。
综上，完成这件事的方法数共有 种方法，
列举如下：
(12)(34)(56);(12)(36)(45);(16)(23)(45);(16)(25)(34);(14)(23)(56)。
即满足要求的联结的方式的总数为5。
(2)
- 当
时，八个点分别用1,2,3,4,5,6,7,8 表示，
根据我们前面的分析，对于任意一条弦，其两侧不能分别剩余奇数个点，故 1 不能与 3,5,7 配对。
故按点1的配对情况，可分为两类：
1 与 2 或 1 与 8 配对；
若 1 与 2 配对，则另 6 朵 3,4,5,6,7,8 的配对情况，可以递归到时的方法点的方法。
若 1 与 8 配对，由对称性可知和 1 与 2 配对方法相同，故也有 5 种方法；
故有种方法；
1 与 4 或 1 与 6 配对；由对称性，这两类配对方法也相同。
不妨设 1 与 4 配对，由题意，2 与 3 必配对，而另外 5,6,7,8 的配对情况，即同时的配对方法。
故有种方法；
共有 种方法。
由题目中每情况的取法的概率都相同，则每一种方法的概率均为 。
假设一个方法中，共有 对相邻的两朵花绑在一起。
14 种方法中 的有
种方法；
的有
种；
的有
种；
则 的所有可能值为 2,3,4，
故 Y 的分布列为
| Y | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| P |
纠错：我们考虑n=4，无非就是两两相邻的配在一起，12 34 56 78这样，或者 23 45 67 81这样。只有两种情况。
- 我们看到题目中的
（用
和
表示）的形式，这样的形式很显然是累乘法，我们应该把
写成比值的形式。
- 当
时，显然有
，此时
，
当 时，假设第
个点与相邻的点相连，记随机变量
，则
，
其中是
个点联结的总数，对于第
个点，它可以和顺时针相邻的，或者逆时针相邻的点连接。
然后剩下的个点有
种联结方式。所以概率为
显然，若第 朵点不与相邻的点相连，记随机变量
，则
，
由于有 Y 对相邻的点相连，则 。
则 ，
综上所述，。
