一道圆上弦的新定义问题

假设圆周上有 $2n (n \in \mathbb{N}^*)$ 个不同的点，在它们之间联结 $n$ 条弦，使得每一个点都是其中一条弦的端，且任意两条弦都不相交。

例如，当 $n=2$ 时，圆周上共有 4 个不同的点，依次用 1, 2, 3, 4 表示，在它们之间联结 2 条弦，则满足条件的联结有 (1, 2), (3, 4) 和 (1, 4), (2, 3)，共 2 种联结方式。

(1) 当 $n=3$ 时，求满足条件的联结方式的种数；
(2) 已知满足要求的每一种联结方式出现的概率都相等。如 $n=2$ 时，出现 2 种联结方式的概率均为 $\frac{1}{2}$ 。对于任意给定的正整数 $n$ ，记满足条件的联结方式中，共有 $Y$ 对相邻的两点相联结。

(i) 当 $n=4$ 时，求 $Y$ 的分布列和数学期望；
(ii) 已知对任意随机变量 $X_i (i=1, 2, \ldots, m, m \in \mathbb{N}^*)$ ，有 $E\left(\Sigma_{i=1}^m X_i\right) = \Sigma_{i=1}^mE(X_i)$ 。记满足条件的联结方式总数为 $a_{2n}$ ， $Y$ 的期望为 $E_{2n}$ ，求 $E_2 \cdot E_4 \cdot \ldots \cdot E_{2n}$ （用 $n$ 和 $a_{2n}$ 表示）。

【解答】

我们先研究n=2,最简单的情况，假设图片如下所示，我们看一下怎么连接第一条弦？

image.png

我们从A出发，显然只能把A和B相连，或者把A和D相连。不能连接A和C，因为如果连接AC之后，这条弦就把剩下的弦分成了1+1,也就是两个奇数，显然后续就无法操作了。即使是对于2n，这也应该是一个最基本的原理。我们每新画一条弦，只能把原来的点分成偶数+偶数的情况，才能保证不相交。

(1) 当 $n=3$ 时，圆上有6个点，以 1, 2, 3, 4, 5, 6 表示：

由题意可知，我们任意连接一条弦，这条弦长的两侧不能分别剩余奇数个点。故 1 必不与奇数 3, 5 配对。

按点1 的配对情况，分为三类：

①1 与 2 配对：另 4 朵 3,4,5,6 的配对情况，同 $n=2$ 时共有 4 朵花的配对方法数相同，故有 2 种方法；

②1 与 6 配对：由对称性可知同 1 与 2 配对的方法数，故有 2 种方法；

③1 与 4 配对：2 必与 3 配对，6 必与 5 配对，故只有 1 种方法。

综上，完成这件事的方法数共有 $2+2+1=5$ 种方法，
列举如下：
(12)(34)(56);(12)(36)(45);(16)(23)(45);(16)(25)(34);(14)(23)(56)。
即满足要求的联结的方式的总数为5。

(2)

当 $n=4$ 时，八个点分别用1,2,3,4,5,6,7,8 表示，
根据我们前面的分析，对于任意一条弦，其两侧不能分别剩余奇数个点，故 1 不能与 3,5,7 配对。

故按点1的配对情况，可分为两类：

1 与 2 或 1 与 8 配对；
若 1 与 2 配对，则另 6 朵 3,4,5,6,7,8 的配对情况，可以递归到 $n=3$ 时的方法点的方法。
若 1 与 8 配对，由对称性可知和 1 与 2 配对方法相同，故也有 5 种方法；
故有 $2 \times 5 = 10$ 种方法；
1 与 4 或 1 与 6 配对；由对称性，这两类配对方法也相同。
不妨设 1 与 4 配对，由题意，2 与 3 必配对，而另外 5,6,7,8 的配对情况，即同 $n=2$ 时的配对方法。
故有 $2 \times 2 = 4$ 种方法；

共有 $10 + 4 = 14$ 种方法。

由题目中每情况的取法的概率都相同，则每一种方法的概率均为 $\frac{1}{14}$ 。

假设一个方法中，共有 $Y$ 对相邻的两朵花绑在一起。
14 种方法中 $Y=2$ 的有 $2 \times 2 = 4$ 种方法； $Y=3$ 的有 $2 \times 4 = 8$ 种； $Y=4$ 的有 $2 \times 1 = 2$ 种；

则 $Y$ 的所有可能值为 2,3,4，
$P(Y=2) = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}; P(Y=3) = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}; P(Y=4) = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}.$
故 Y 的分布列为

Y	2	3	4
P	$\frac{2}{7}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{1}{7}$

$E(Y) = 2 \times \frac{2}{7} + 3 \times \frac{4}{7} + 4 \times \frac{1}{7} = \frac{20}{7}, \text{故} Y \text{的期望为} \frac{20}{7}.$

纠错：我们考虑n=4，无非就是两两相邻的配在一起，12 34 56 78这样，或者 23 45 67 81这样。只有两种情况。

我们看到题目中的 $E_2 \cdot E_4 \cdot \ldots \cdot E_{2n}$ （用 $n$ 和 $a_{2n}$ 表示）的形式，这样的形式很显然是累乘法，我们应该把 $E_{2n}$ 写成比值的形式。

当 $n=1$ 时，显然有 $a_2 = 1$ ，此时 $Y = 1, E_2 = 1$ ，

当 $n \geqslant 2$ 时，假设第 $i$ 个点与相邻的点相连，记随机变量 $X_i = 1$ ，则 $P(X_i = 1) = \frac{2a_{2n-2}}{a_{2n}}$ ，

其中 $a_{2n}$ 是 $2n$ 个点联结的总数，对于第 $i$ 个点，它可以和顺时针相邻的，或者逆时针相邻的点连接。

然后剩下的 $2n-2$ 个点有 $a_{2n-2}$ 种联结方式。所以概率为 $\frac{2a_{2n-2}}{a_{2n}}$

显然，若第 $i$ 朵点不与相邻的点相连，记随机变量 $X_i = 0$ ，则 $P(X_i = 0) = 1 - \frac{2a_{2n-2}}{a_{2n}}$ ，

由于有 Y 对相邻的点相连，则 $Y = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2n} X_i$ 。

则 $E_{2n} = E(Y) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{2n} E(X_i) = \frac{2na_{2n-2}}{a_{2n}} (n \geqslant 2)$ ，

综上所述， $E_2 \cdot E_4 \cdot \cdots \cdot E_{2n} = 1 \times \frac{4a_2}{a_4} \times \frac{6a_4}{a_6} \times \cdots \times \frac{2na_{2n-2}}{a_{2n}} = \frac{2^{n-1} n!}{a_{2n}}$ 。

一道圆上弦的新定义问题

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