无穷小量

在自变量的某个变化过程中x→x0（或x→∞），极限为0的量称为无穷小。

无穷小的性质

  • 无穷小+无穷小=无穷小
  • 无穷小×无穷小=无穷小
  • 无穷小×常数=无穷小
  • 无穷小×有界函数=无穷小

无穷小的比较

设α和β都是自变量同一变化过程的无穷小，且α≠0：

  • \lim \frac{\beta}{\alpha}=0
    β是比α高阶的无穷小记作：β=o(a)
  • \lim \frac{\beta}{\alpha}=\infty
    β是比α低阶的无穷小（a=o(β))
  • \lim \frac{\beta}{\alpha}=C \neq 0
    β与α是同阶无穷小，且当C=1时，β与α是同阶无穷小，记作α~β

常用等价无穷小

其中x可以带参数

  • \sin x \sim x
  • \tan x \sim x
  • e^x-1 \sim x
  • \ln (1+x) \sim x
  • 1- \cos x \sim \frac{x^2}{2}

求两个无穷小之比的极限时，分子和分母都可以用等价无穷小替换。（只在乘除中可用，加减时不能用）

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