[TopLanguage主题讨论]今天我们思考

By 刘未鹏

最近一段时间，看了许多心理学和思维的书，一些数学和解题的书，做了少许题目。两者结合起来，作了一点思考。本来是写了发到maillist里的，但写着写着这段时间以来的一些思考和总结冒了出来，超出了一篇mail通常的长度，遂贴了上来。

波利亚的《How To Solve It》里面有一个章节列出了一大堆的Heuristics（启发法），譬如把题目泛化、考察问题的特例、类比、看能否扔掉什么条件、看能否修改什么条件、时刻注意未知量...等等。

我有一个信念，所谓的灵感，背后一定有它的规则，虽然灵感发自无意识层面（参考《追寻记忆的痕迹》（坎德尔），以及《态度改变与社会影响》（津巴度）的"阈下刺激"章节），我们无法在灵感之前就在意识层面觉察到灵感诞生的过程，然而我们的确可以在灵感发生之后通过回顾和合情推理总结出最有可能的思路，数学的发展某种意义上做的就是这样一件事情，从最朴素的推理，到数学方法的产生——从三段论、形式逻辑、数学归纳法、类比、分治这些一般思维规则到鸽笼原理、极值原理、贪婪原理这类解决特定问题的原理，无一不是对思维过程的事后总结和整理。譬如我觉得形式逻辑就是最大的事后整理出来的思维法则，人类天生在无意识层面就具有推理能力（参见皮亚杰的认知发展原理），就像（也许）自然数是根植在大脑里面的概念一样，这些概念是进化出来的，我们无意识间就能够熟练运用。然而，要想让它们得到发展、生长，乃至能形式化到纸上，成为任何人都能操作的方法论，则需要意识的参与。

我们做题、做题、做题，往往认为到达熟练的唯一办法就是做题，认为只有埋头做题才能够提高能力。诚然，练习是必要条件。但有些练习比另一些练习更有效。

我们苦思冥想，在某个瞬间，从无意识层面冒出来一个点子，于是我们意识到，我们得到了灵感，于是我们欢呼雀跃；随着时间的推移，这样的灵感时刻也许会越来越多，于是我们认为这就是最有效的练习方法。我不这么认为，我觉得题目背后的思维大抵是相通的，通过一次次的等待灵感来练习，是被动的。在灵感出现之后总结为什么灵感会出现，背后可能有什么样的思维法则，看看能否泛化到一类题目，这样才是事半功倍的方法。

事实上，你有没有发现，在解决一个问题的时候，你所意识到的思维过程是跳跃式的，伴随着一个一个从无意识层面“冒”上来的点子，每一个这样的点子都会把你的思维推向前一大步，最重要的这样的点子，被称为灵感。由于我们的意识层面无法觉察到无意识层面的推理逻辑，所以人们只能绝望地认为除了在一次次解题中让你的无意识层面的神经元得到锻炼之外别无它法。然而启发法的出现却正打破了这个观点，所谓启发法其实就是"原本被我们无意识运用"，而"后来被形式化地提出来，可以由意识来指导的方法"。一旦总结出了重要的、一般性的思维的法则，我们下次便有可能不用绝望地等待摸不着的灵感的闪现，而是可以系统化地尝试各种可行的手法（启发法）了。

要实现这个目的（即总结自己的灵感背后的思维规则进而泛化为一般性的解题思路），我认为一种方法是可取的，即所谓的"看得着的思考"——把你的思考过程详细的写在纸上。人的意识就像暗夜里的灯光，只能照亮一个很小的局部，如果不写下来，思维的灯光总是有限的，有可能走到后面忘掉前面，也有可能干脆就停在当地没法往下思考。写下来，可以避免这个问题，思维就可以往下走，思维的触角就可以扩充，灯光就可以照到越来越多的地方。此外，"写下来"还能够使得自己能够回过头来检视自己的整个思考过程——也许前面某个时候你想到一个东西，但如果不记下来你就很快忘了，而记下来回头一看也许你又有很大的启发。也许，你在思维的某一个环节上无意间引入了一个想当然的假设，从而掉入了思维定势的陷阱，通过写下来，就可以一定程度上避免这样的陷阱。

从一道题目中获得最多的东西，这是做题的目的。

你有没有这样的经历，一道题目你做不出来，你拿去问某个人，某个人想了一会儿，然后指出某个关键的步骤，于是一切豁然开朗。

但这远远不是全部！

如果你继续问他是怎么想到的，经验告诉我，几乎所有的可能性都指向一个答案"我也不清楚"。

为什么？我自己的经验是，我相信是因为绝大多数人都没有仔细反省自己思考的过程。如果想不出来，拉倒。如果想出来了，万事大吉。但波利亚在《How to Solve it》中说到，他在教学的过程中总是碰到这样的问题"你是怎么想到的"？这个问题促使了他去总结思维的规律，有了这些规律，即使不那么富有灵感的人，也可以运用这些规律，让自己的思维的触角能够伸展开去。我们也不妨把这些启发法称作思维的“方子”（recipe）

答案不重要，如果你直接告诉我关键的一步，我什么也没有得到。甚至就算我自己想出了最关键的一步，也许我还是什么都没得到。因为这样的经验只能极其有限地对我下一次的问题产生帮助；除非我能进一步思考思维背后的规则，才能让最多的东西为我以后所用。

所以，重要的是思考的过程，不管这个过程是不是带领你得到答案。我相信只有最深刻反省了思考的真正过程，才能够从做题中获得最多的东西。

遂发起这个系列"今天我们思考"（本来是想写"今天我们做题"，但想到这个讨论的目的其实是思考，遂改了），大家都把自己认为最精彩的题目发上来（发的时候加上[今天我们思考<编号>]便于以后搜索），我想一定是一件于人于己都是非常有益的事情。

题目未必要新，很多人都做过的也没关系，我的经验是，就算以前想出来的题目，现在抱着思索“我是怎么想出来的”的态度再去反思，也能够得到很有用的东西。所以关键是题目要经典，要能体现出某种思路。

这个系列的关键是想要讨论做题的思路，而绝非题目本身，答案完全不是目的，就算得不出答案的思路也有很大的价值。如果你想到了一些思路，但看上去离答案还相差甚远，没有任何关系，贴上来，也许对别人的思路有很大启发。这是一个邮件列表内的头脑风暴。如果你想到了答案，并且能够总结出自己思路中的关键法则（你是怎么想到的），我想大家都会受益匪浅。

如果你对以往做题的思路有很好的思考，也欢迎和大家分享～

P.S. 邮件列表内的帖子和题目见这里，欢迎参与:)

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