随机梯度下降随笔

随机梯度下降

在深度学习里，目标函数通常是训练数据集中有关各个样本的损失函数的平均。设 $f_i(\boldsymbol{x})$ 是有关索引为 $i$ 的训练数据样本的损失函数， $n$ 是训练数据样本数， $\boldsymbol{\theta}$ 是模型的参数向量，那么目标函数定义为

$L(\boldsymbol{\theta}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n l_i(\boldsymbol{\theta}).$

目标函数在 $\boldsymbol{x}$ 处的梯度计算为

$\nabla L(\boldsymbol{\theta}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n \nabla l_i(\boldsymbol{\theta}).$

如果使用梯度下降，每次自变量迭代的计算开销为 $\mathcal{O}(n)$ ，随着 $n$ 线性增长。因此，当训练数据样本数很大时，梯度下降每次迭代的计算开销很高。现在可以通过随机梯度下降来解决这个问题。

随机梯度下降（stochastic gradient descent，SGD）减少了每次迭代的计算开销。在随机梯度下降的每次迭代中，我们随机均匀采样的一个样本索引 $i\in\{1,\ldots,n\}$ ，并计算梯度 $\nabla l_i(\boldsymbol{\theta})$ 来迭代 $\boldsymbol{\theta}$ ：

$\boldsymbol{\theta} \leftarrow \boldsymbol{\theta} - \eta \nabla l_i(\boldsymbol{\theta}).$

这里 $\eta$ 同样是学习率。可以看到每次迭代的计算开销从梯度下降的 $\mathcal{O}(n)$ 降到了常数 $\mathcal{O}(1)$ 。值得强调的是，随机梯度 $\nabla l_i(\boldsymbol{x})$ 是对梯度 $\nabla l(\boldsymbol{x})$ 的无偏估计：

$E_i \nabla l_i(\boldsymbol{\theta}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n \nabla l_i(\boldsymbol{\theta}) = \nabla f(\boldsymbol{\theta}).$

好处就是将 variance(方差) 降低一下，

这意味着，平均来说，随机梯度是对梯度的一个良好的估计。

下面我们通过在梯度中添加均值为0的随机噪声来模拟随机梯度下降，以此来比较它与梯度下降的区别。

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 213,335评论 6赞 492
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 90,895评论 3赞 387
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 158,766评论 0赞 348
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 56,918评论 1赞 285
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 66,042评论 6赞 385
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 50,169评论 1赞 291
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 39,219评论 3赞 412
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 37,976评论 0赞 268
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 44,393评论 1赞 304
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 36,711评论 2赞 328
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 38,876评论 1赞 341
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 34,562评论 4赞 336
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 40,193评论 3赞 317
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 30,903评论 0赞 21
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,142评论 1赞 267
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 46,699评论 2赞 362
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 43,764评论 2赞 351

随机梯度下降随笔

随机梯度下降

推荐阅读更多精彩内容