20200202的数学作业

典型例题

1.

解：

$(1)$

由题易知， $P_3$ 不在 $C$ 上 $\Leftrightarrow$$P_4$ 不在 $C$ 上

此结论与已知条件矛盾，故 $P_3$ ， $P_4$ 都在 $C$ 上， $P_1$ 不在 $C$ 上

则可得 $\frac{1}{a^2} + \frac{3}{4b^2} = 1$

$\begin{cases} \begin{aligned} & \frac{1}{a^2} + \frac{3}{4b^2} = 1 \\ & \frac{0}{a^2} + \frac{1}{b^2} = 1 \end{aligned} \end{cases}$

解得
$\begin{cases} \begin{aligned} & a^2 = 4 \\ & b^2 = 1 \end{aligned} \end{cases}$
故 $C: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1$

证明：

$(2)$

设 $A(x_1, y_1)$ ， $B(x_2, y_2)$

若 $l$ 的斜率存在

设 $l: y = kx + b$ ，代入 $C$ ，整理得
$(4k^2 + 1)x^2 + 8kbx + 4b^2 - 4 = 0$
其中
$\begin{aligned} \Delta & = (8kb)^2 - 4(4k^2 + 1)(4b^2 - 4) \\ & = 64k^2 - 16b^2 + 16 > 0 \Rightarrow 4k^2 + 1 > b^2 \end{aligned}$
由题有
$\begin{aligned} k_{P_2A} + k_{P_2B} & = -1 \\ \frac{y_1-1}{x_1} + \frac{y_2-1}{x_2} & = -1 \\ \frac{2kx_1x_2 + (b - 1)(x_1 + x_2)}{x_1x_2} & = -1 \end{aligned}$
由韦达定理
$\begin{cases} \begin{aligned} & x_1 + x_2 = -\frac{8kb}{4k^2 + 1} \\ & x_1x_2 = \frac{4b^2 - 4}{4k^2 + 1} \end{aligned} \end{cases}$
代入整理得 $b = -2k - 1$

则 $l: y + 1 = k(x - 2)$

即此时 $l$ 过定点 $(2, -1)$

若 $l$ 的斜率不存在

设 $l: x = t$ ，此时 $x_1 = x_2 \neq 0$ ， $y_1 = -y_2$

则有 $k_{P_2A} + k_{P_2B} = \frac{y_1 - 1}{t} + \frac{-y_1 - 1}{t} = \frac{-2}{t} = -1$

即 $m = 2$

$\Rightarrow$ 此时 $l$ 过椭圆右顶点，不存在两个交点

$\Rightarrow$ 舍去

综上所述，直线 $l$ 恒过定点 $(2, -1)$ $\blacksquare$

2.

证明：

设 $P(x_0, y_0)$ ，则 $Q(-x_0, -y_0)$

由题，有 $\frac{x^2_0}{4} + \frac{y^2_0}{2} = 1 \Leftrightarrow x^2_0 + 2y^2_0 = 4$ 成立

又 $A(-2, 0)$ $\Rightarrow$ $PA: y = \frac{y_0}{x_0 + 2} (x + 2)$

故 $M(0, \frac{2y_0}{x_0 + 2})$ ， $PA: y = \frac{y_0}{x_0 - 2} (x + 2)$

故 $N(0, \frac{2y_0}{x_0 - 2})$

则以 $MN$ 为直径的圆为
$x^2 + (y - \frac{2y_0}{x_0 + 2})(y - \frac{2y_0}{x_0 - 2}) = 0$

代入 $x^2_0 + 2y^2_0 = 4$ 并整理得
$x^2 + y^2 + \frac{2x_0}{y_0} y - 2 = 0$

令 $y = 0$ ，解得 $x = \pm \sqrt{2}$

故以线段 $MN$ 为直径的圆恒过顶点 $(\sqrt{2}, 0)$ 和 $(-\sqrt{2}, 0)$ $\blacksquare$

课堂练习

1.

解：

将 $(2, 1)$ 代入 $C$ ，解得 $p = 2$ $\Rightarrow$ $C: x^2 = 4y$

设 $A(x_1, y_1)$ ， $B(x_2, y_2)$ ，则 $A'(-x_1, y_1)$

由题， $l$ 的斜率一定存在

故可设 $l: y = kx - 1$ ，代入 $C$ ，整理得

$x^2 -4kx +4 = 0$

其中

$\begin{aligned} \Delta & = (-4k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 \\ & = 16(k^2 - 1) > 0 \Rightarrow k^2 > 1 \end{aligned}$

则

$k_{A'B} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - (-x_1)} = \frac{\frac{x^2_2}{4} - \frac{x^2_1}{4}}{x_1 + x_2} = \frac{x_2 - x_1}{4}$

故 $A'B: y - \frac{x^2_2}{4} = \frac{x_2 - x_1}{4} (x - x_2)$

即 $A'B: y = \frac{x_2 - x_1}{4} x + 1$

即直线 $A'B$ 恒过定点 $(0, 1)$ $\blacksquare$

2.

解：

$\vec{MS} = \vec{SN}$ ， $\vec{PT} = \vec{TQ}$ $\Rightarrow$ $S$ 为 $MN$ 中点， $T$ 为 $PQ$ 中点

设 $P(x_1, y_1)$ ， $Q(x_2, y_2)$ ， $M(x_3, y_3)$ ， $N(x_4, y_4)$

若两直线斜率皆存在

设 $l_1: y = k(x - 1)$ ，则 $l_2: y = -\frac{1}{k} (x - 1)$

将 $l_1$ 代入 $C$ ，整理得
$(2k^2 + 1)x^2 - 4k^2x + 2k^2 - 4 = 0$
其中
$\begin{aligned} \Delta & = (-4k^2)^2 - 4(2k^2 + 1)(2k^2 - 4) \\ & = 8(3k^2 + 2) > 0 \end{aligned}$

由韦达定理，
$\begin{cases} \begin{aligned} & x_1 + x_2 = \frac{4k^2}{2k^2 + 1} \\ & x_1x_2 = \frac{2k^2 - 4}{2k^2 + 1} \end{aligned} \end{cases}$

故 $T(\frac{2k^2}{2k^2 + 1}, \frac{-k}{2k^2 + 1})$ ，同理可得 $S(\frac{2}{k^2 + 2}, \frac{k}{k^2 + 2})$

$\Rightarrow$$k_{ST} = \frac{-3k}{2(k^2 - 1)}$

$\Rightarrow$$ST: y + \frac{k}{2k^2 + 1} = \frac{-3k}{2(k^2 - 1)} (x - \frac{2k^2}{2k^2 + 1})$

即 $ST: y = \frac{-3k}{2(k^2 - 1)} (x - \frac{2}{3})$

即此时 $ST$ 恒过定点 $(\frac{2}{3}, 0)$

若两直线斜率分别为 $0$ 和不存在

此时其中一条直线的方程为 $y = 0$ 过 $(\frac{2}{3}, 0)$

综上所述，直线 $ST$ 恒过定点 $(\frac{2}{3}, 0)$

课后作业

1.

证明：

由题， $l_1$ 与 $l_2$ 的斜率一定存在且不为 $0$

设 $l_1: y = k(x - 12) + 8$ ，则 $l_2: y = \frac{1}{k} (x - 12) + 8$

将 $l_1$ 代入 $\Gamma$ ，整理得

$ky^2 - 4y - 48k + 32 = 0$

其中
$\begin{aligned} \Delta & = (-4)^2 - 4k(32 - 48k) \\ & = 16(2k - 1)(6k - 1) > 0 \Rightarrow k \in (-\infty, \frac{1}{6}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty) \end{aligned}$

同理有 $\frac{1}{k} \in (-\infty, \frac{1}{6}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$

综上有 $k \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, 2) \cup (6, +\infty)$

由韦达定理，
$\begin{cases} \begin{aligned} & y_C + y_D = \frac{4}{k} \\ & y_Cy_D = \frac{32 - 48k}{k} \end{aligned} \end{cases}$
则 $x_C + x_D = 24 + \frac{4}{k^2} - \frac{16}{k}$ $\Rightarrow$ $M(12 + \frac{2}{k^2} - \frac{8}{k}, \frac{2}{k})$

同理可得 $N(12 + 2k^2 - 8k, 2k)$

故可求得 $k_{MN} = \frac{1}{k + \frac{1}{k} - 4}$

故 $MN: y - 2k = \frac{1}{k + \frac{1}{k} - 4} [x - (2k^2 - 8k + 12)]$

即 $MN: (k + \frac{1}{k} - 4)y = x - 10$

即直线 $MN$ 恒过定点 $(10, 0)$ $\blacksquare$

2.

证明：

由题易知 $l$ 的斜率一定存在

故可设 $l: y = kx + b$ ， $M(x_1, y_1)$ ， $N(x_2, y_2)$

将 $l$ 代入椭圆方程，整理得

$(2k^2 + 1)x ^ 2 + 4kbx + 2(b^2 - 1) = 0$

其中
$\begin{aligned} \Delta & = (4kb)^2 - 4(2k^2 + 1)(2b^2 - 2) \\ & = 8(2k^2 - b^2 + 1) > 0 \Rightarrow 2k^2 + 1 > b^2 \end{aligned}$

由韦达定理，

$\begin{cases} \begin{aligned} & x_1 + x_2 = -\frac{4kb}{2k^2 + 1} \\ & x_1x_2 = \frac{2(b^2 - 1)}{2k^2 + 1} \end{aligned} \end{cases}$

则

$\begin{cases} \begin{aligned} & y_1 + y_2 = \frac{2b}{2k^2 + 1} \\ & y_1y_2 = \frac{b^2 - 2k^2}{2k^2 + 1} \end{aligned} \end{cases}$

由题可知 $\vec{AM} \cdot \vec{AN} = x_1x_2 + (y_1 - 1)(y_2 - 1) = 0 \Rightarrow (3b + 1)(b - 1) = 0$

又直线不经过 $A$$\Rightarrow$$b = -\frac{1}{3}$

故直线 $l$ 恒过定点 $(0, -\frac{1}{3})$ $\blacksquare$

3.

解：

$(1)$

由题， $F(\frac{p}{2}, 0)$ ，则 $AB: y = \sqrt{2} (x - \frac{p}{2})$

将 $AB$ 代入 $C$ ，整理得

$x^2 - 2px + \frac{p^2}{4} = 0$

其中 $\Delta = 4p^2 - p^2 = 3p^2 > 0$

由韦达定理， $x_1 + x_2 = 2p$ ， $x_1x_2 = \frac{p^2}{4}$

故 $\lvert AB \rvert = \sqrt{1 + 2} \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = 6 \Rightarrow p = 2$

故 $C: y^2 = 4x$

$(2)$

设 $D(x_1, y_1)$ ， $E(x_2, y_2)$

由 $(1)$ ， $M(4, 4)$ ，且 $DE$ 斜率不为 $0$

故可设 $DE: my = x + t$ ，代入 $C$ ，整理得

$y^2 - 4my + 4t = 0$

其中 $\Delta = 16(m^2 - t) > 0 \Rightarrow m^2 > t$

由韦达定理， $y_1 + y_2 = 4m$ ， $y_1y_2 = 4t$

又 $\vec{MD} \cdot \vec{ME} = x_1x_2 + (y_1 - 4)(y_2 - 4) = t^2 + 12t - 16m^2 - 16m + 32 = 0$

即 $(t + 6)^2 = 4(2m + 1)^2$$\Rightarrow$$t = -4m + 4$ 或 $4m + 8$

故 $DE: m(y - 4) = x - 4$ （舍去）或 $DE: m(y + 4) = x - 8$

即直线 $DE$ 恒过定点 $(8, -4)$

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 214,172评论 6赞 493
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 91,346评论 3赞 389
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 159,788评论 0赞 349
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 57,299评论 1赞 288
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 66,409评论 6赞 386
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 50,467评论 1赞 292
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 39,476评论 3赞 412
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 38,262评论 0赞 269
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 44,699评论 1赞 307
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 36,994评论 2赞 328
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 39,167评论 1赞 343
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 34,827评论 4赞 337
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 40,499评论 3赞 322
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 31,149评论 0赞 21
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 32,387评论 1赞 267
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 47,028评论 2赞 365
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 44,055评论 2赞 352

20200202的数学作业

典型例题

1.

2.

课堂练习

1.

2.

课后作业

1.

2.

3.

推荐阅读更多精彩内容