1. 必然性推理
1.1. 演绎论证
论证：由一个或多个主张或前提和一个结论组成，前提支持结论。
演绎论证的结论为真的要求
- 前提必须为真；
- 论证必须有效。
演绎论证形式
大前提：所有 a 都是 A；
小前提：b 是 a；结论：b 是 A。
演绎论证示例
所有狗都是哺乳动物；
我的宠物是一只狗；我的宠物是一只哺乳动物。
2. 直言命题
概念：包含<u>内涵</u>（事物的特性 / 本质）及<u>外延</u>（事物的范围）。
2.1. 概念间的集合关系
- 全同：S = P；
- 真包含 / 真包含于：P ⊂ S / S ⊂ P；
- 交叉：S ∩ P ≠ ∅；
- 全异：S ∩ P = ∅；
2.2. 四种直言命题的符号简记
| 命题名称 | 命题简记 | 命题符号 | 命题表述 | 集合形式 |
|---|---|---|---|---|
| 全称肯定命题 | A 命题 | SAP | 「所有 S 都是 P。」 | ∀x(S(x)→P(x)) |
| 全称否定命题 | E 命题 | SEP | 「所有 S 都不是 P。」 | ∀x(S(x)≠P(x)) |
| 特称肯定命题 | I 命题 | SIP | 「有些 S 是 P。」 | ∃x(S(x)→P(x)) |
| 特称否定命题 | O 命题 | SOP | 「有些 S 不是 P。」 | ∃x(S(x)≠P(x)) |
2.3. 四种直言命题的集合关系
| 直言命题 | 全同 (S = P) | 真包含于 (S ⊂ P) | 真包含 (S ⊂ P) | 交叉 (S ∩ P ≠ ∅) | 全异 (S ∩ P = ∅) |
|---|---|---|---|---|---|
| SAP | √ | √ | |||
| SIP | √ | √ | √ | √ | |
| SEP | √ | ||||
| SOP | √ | √ | √ |
2.4. 四种直言命题的等价换位
| 原命题 | 等价换位后命题 |
|---|---|
| 所有 S 都是 P。 | 有些 P 是 S。 |
| 有些 S 是 P。 | 有些 P 是 S。 |
| 所有 S 都不是 P。 | 所有 P 都不是 S。 |
| 有些 S 不是 P。 | —— |
2.5. 命题间的对当关系
- 矛盾：必有一真一假；
- 下反对：必有一真，可同为真；
- 反对：必有一假，可同为假；
- 从属：可同为真，可同为假；
矛盾命题的换位方法
- 将「所有」与「有些」互换；
- 将「不是」与「是」互换；
2.6. 四种直言命题的对当关系
| SAP | SIP | SEP | SOP | |
|---|---|---|---|---|
| SAP | —— | 从属（于） | 反对 | 矛盾 |
| SIP | 从属 | —— | 矛盾 | 下反对 |
| SEP | 反对 | 矛盾 | —— | 从属（于） |
| SOP | 矛盾 | 下反对 | 从属 | —— |
3. 复言命题
3.1. 联言命题与选言命题
- 联言命题：p 且 q (
p && q)； - 选言命题
- 相容选言命题：p 或 q (
p || q)； - 不相容选言命题：要么 p，要么 q (
either p or q)；
- 相容选言命题：p 或 q (
3.2. 联言命题与选言命题的性质
| p 且 q | p 或 q | 要么 p，要么 q | |
|---|---|---|---|
| 真假关系 | 一假即假 | 一真即真 | 有且只有一真才真 |
| 矛盾命题 | !p丨!q |
!p && !q |
(p && q)丨(!p && !q) |
| 推理规则 | 命题为真时：p、q 同为真 | 命题为真时：一者假，另一者必真；也可同为真 | 命题为真时：一者假，另一者必真；一者真，另一者必假 |
3.3. 假言命题
- 充分条件假言命题：若 p，则 q (
p → q)；- 可能的表述形式：「只要…就…」、「…必须…」、「如果…那么…」……
- 必要条件假言命题：只有 p，才 q (
p ← q)；- 可能的表述形式：「没有…就没有…」……
- 其它形式改写：
- 「不 p，不 q」：
p ← q(!p → !q)； - 「除非 p，否则 q」：
p ← !q(!p → q)；
- 「不 p，不 q」：
3.4. 假言命题的等价换位及连锁推理
- 等价换位：
p → q === !p ← !q； - 连锁推理：若
p → q，q → r，则p → r；
3.5. 假言命题的性质
p → q |
p ← q |
|
|---|---|---|
| 真假关系 | 前真后假才假 | 前假后真才假 |
| 矛盾命题 | p && !q |
!p && q |
| 推理规则 | 肯前能肯后，否后能否前；否前不否后，肯后不肯前 | 否前能否后，肯后能肯前；肯前不肯后，否后不否前 |
