笔记 | 逻辑学：必然性推理

1. 必然性推理

1.1. 演绎论证

论证：由一个或多个主张或前提和一个结论组成，前提支持结论。

演绎论证的结论为真的要求

  1. 前提必须为真；
  2. 论证必须有效。

演绎论证形式

大前提：所有 a 都是 A；
小前提：b 是 a；

结论：b 是 A。

演绎论证示例

所有狗都是哺乳动物；
我的宠物是一只狗；

我的宠物是一只哺乳动物。

2. 直言命题

概念：包含<u>内涵</u>（事物的特性 / 本质）及<u>外延</u>（事物的范围）。

2.1. 概念间的集合关系

  • 全同：S = P；
  • 真包含 / 真包含于：P ⊂ S / S ⊂ P；
  • 交叉：S ∩ P ≠ ∅；
  • 全异：S ∩ P = ∅；

2.2. 四种直言命题的符号简记

命题名称 命题简记 命题符号 命题表述 集合形式
全称肯定命题 A 命题 SAP 「所有 S 都是 P。」 ∀x(S(x)→P(x))
全称否定命题 E 命题 SEP 「所有 S 都不是 P。」 ∀x(S(x)≠P(x))
特称肯定命题 I 命题 SIP 「有些 S 是 P。」 ∃x(S(x)→P(x))
特称否定命题 O 命题 SOP 「有些 S 不是 P。」 ∃x(S(x)≠P(x))

2.3. 四种直言命题的集合关系

直言命题 全同 (S = P) 真包含于 (S ⊂ P) 真包含 (S ⊂ P) 交叉 (S ∩ P ≠ ∅) 全异 (S ∩ P = ∅)
SAP √ √
SIP √ √ √ √
SEP √
SOP √ √ √

2.4. 四种直言命题的等价换位

原命题 等价换位后命题
所有 S 都是 P。 有些 P 是 S。
有些 S 是 P。 有些 P 是 S。
所有 S 都不是 P。 所有 P 都不是 S。
有些 S 不是 P。 ——

2.5. 命题间的对当关系

  • 矛盾：必有一真一假；
  • 下反对：必有一真，可同为真；
  • 反对：必有一假，可同为假；
  • 从属：可同为真，可同为假；

矛盾命题的换位方法

  1. 将「所有」与「有些」互换；
  2. 将「不是」与「是」互换；

2.6. 四种直言命题的对当关系

SAP SIP SEP SOP
SAP —— 从属（于） 反对 矛盾
SIP 从属 —— 矛盾 下反对
SEP 反对 矛盾 —— 从属（于）
SOP 矛盾 下反对 从属 ——

3. 复言命题

3.1. 联言命题与选言命题

  • 联言命题：p 且 q (p && q)；
  • 选言命题
    • 相容选言命题：p 或 q (p || q)；
    • 不相容选言命题：要么 p，要么 q (either p or q)；

3.2. 联言命题与选言命题的性质

p 且 q p 或 q 要么 p，要么 q
真假关系 一假即假 一真即真 有且只有一真才真
矛盾命题 !p丨!q !p && !q (p && q)丨(!p && !q)
推理规则 命题为真时：p、q 同为真 命题为真时：一者假，另一者必真；也可同为真 命题为真时：一者假，另一者必真；一者真，另一者必假

3.3. 假言命题

  • 充分条件假言命题：若 p，则 q (p → q)；
    • 可能的表述形式：「只要…就…」、「…必须…」、「如果…那么…」……
  • 必要条件假言命题：只有 p，才 q (p ← q)；
    • 可能的表述形式：「没有…就没有…」……
  • 其它形式改写：
    • 「不 p，不 q」：p ← q (!p → !q)；
    • 「除非 p，否则 q」：p ← !q (!p → q)；

3.4. 假言命题的等价换位及连锁推理

  • 等价换位：p → q === !p ← !q；
  • 连锁推理：若 p → q，q → r，则 p → r；

3.5. 假言命题的性质

p → q p ← q
真假关系 前真后假才假 前假后真才假
矛盾命题 p && !q !p && q
推理规则 肯前能肯后，否后能否前；否前不否后，肯后不肯前 否前能否后，肯后能肯前；肯前不肯后，否后不否前
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