第四讲一元微分函数微分

第一部分导数

在微分学诞生之前有一个问题，一个房间里的室内温度为20°C，5分钟之后室内温度变为25°C。那么这个房间的室内温度5分钟的平均变化率就是1°C/min。
但是，这样的计算却存在一个问题，比如一年前此房间的室内温度为t °C，一年后这个房间的室内温度在同一时刻也为t °C，按照之前的计算方式，那么这个房间的室内温度平均变化率为0，显然，这个结果并没有任何价值。

因为平均变化率这个概念太过于“粗糙”，人们便让 $\Delta t\to 0$ ，也就是让时间差成为无穷小数，记为 $\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta u}{\Delta t} = u'(t)$ ，则 $u'(t)$ 即可表达这个房间室内温度的瞬时变化率，这就是导数函数

导数函数的几何意义：曲线切线的斜率

导数的定义： $\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f'(x_0)$
或者： $f'(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

证明：若 $f(x)$ 是可导的奇函数，则 $f'(x)$ 是偶函数
$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
$=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{-f(-(x+\Delta x))+f(-x)}{\Delta x}$
$=\lim_{-\Delta x\to 0}\frac{f(-x+(-\Delta x))-f(-x)}{-\Delta x}$
$=f'(-x)$

可导（或者说是导数存在）的充分必要条件是左导数和右导数相等
$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=A \iff$
$\lim_{\Delta x\to 0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0^-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=A$

导数不存在情况：

不光滑曲线：
$y=|x|,\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{|\Delta x|}{\Delta x}$
$f'_-(0)=-1\ne f'_+(0)=1$
无穷大斜率
$y=\sqrt[3]{x},\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(\Delta x)^{\frac{1}{3}}}{\Delta x}$
$f'_-(0)=f'_+(0)=+\infty$
但是零点处的左右极限都不存在，所以此处不可导

第二部分微分

将一个正方形的边长增加 $\Delta x$

其面积增量 $\Delta S=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x + (\Delta x)^2$
这个增量可以分成两个部分 $\begin{cases}2x\Delta x\\(\Delta x)^2\end{cases}$
当 $\Delta x\to 0$ 的时候，这个增量也可以写成:
$\Delta S=(x+\Delta x)^2-x^2=2x\Delta x + o(\Delta x)$
也就是说 $2x\Delta x$ 是增量的主要部分（称为线性主部），而 $(\Delta x)^2$ 是增量的误差（ $x^2$ 趋近零的速度比 $x$ 快得多）
增量中的主要部分(上例中的 $2x\Delta x$ )被称为微分

微分： $dy|_{x=x_0}=y'(x_0)dx$

微分的核心思想就是用直线来取代曲线

Δx→0

上图中的红色的曲线和红色的直线之间的差别只在于一个高阶无穷小

一阶微分形式不变：
$\frac{df[g(x)]}{dx}=f'[g(x)]g'(x)dx=f'[g(x)]d[g(x)]$
故： $df(\cdot)=f'(\cdot)d\cdot$

例题
设 $y=e^{\sin(\ln x)}$ ，求 $dy$ 以及 $\frac{dy}{dx}$
$dy=de^{\sin(\ln x)}$
$=e^{\sin(\ln x)}\cdot d(\sin(\ln x))$
$=e^{\sin(\ln x)}\cdot\cos(\ln x)\cdot\frac{1}{x}\cdot dx$
$\frac{dy}{dx}=e^{\sin(\ln x)}\cdot\cos(\ln x)\cdot \frac{1}{x}$

第三部分导数计算问题

分段函数的导数问题：

分段点：
用导数定义根据 $f'_-(x)=?f'_+(x)$ 来判断导数是否存在，然后再计算
非分段点
直接根据x的取值情况用公式进行计算

复合函数的导数问题：
$(f[g(x)])'=f'[g(x)]g'(x)$
$f'[g(x)]=f'[g(x)]$

例题
$f(x)=\prod_{n=1}^{100}(\tan\frac{\pi x^n}{4}-n)$ ，求 $f^{\prime}(1)$ ]
根据导数的运算规则可知，
除了在对第一项求导时，其他每一项的求导都要乘以第一项的原函数，即 $\tan\frac{\pi}{4}-1=0$
故 $f'(1)=(\tan\frac{\pi}{4}x-1)'\cdot\prod_{n=2}^{100}(1-n)=-\frac{\pi\cdot 99!}{2}$

例题
设函数 $f(x)=\begin{cases}\ln\sqrt{x},x\ge 1\\2x-1,x\lt 1\end{cases}$ ，令 $y=f[f(x)]$ ，求 $\frac{dy}{dx}|_{x=e}$
方法一：先算出复合函数，在进行求导
方法二：直接使用复合函数求导公式
$\frac{dy}{dx}|_{x=e}=f'[f(x)]\cdot f'(x)|_{x=e}=f'[f(e)]\cdot f'(e)=f'(\frac{1}{2})\cdot f'(e)$
$\frac{dy}{dx}|_{x=e}=\frac{1}{e}$

导数零点定理：若 $f'(x)\ne 0$ 那么， $f'(x)$ 必然恒为正或者恒为负

原函数导数与反函数导数的关系：
$y=f(x),x=\varphi(y)$

$y'=f'(x)=\frac{1}{\varphi'(y)}$
$y''=f''(x)=\frac{-\varphi''(y)}{(\varphi'(y))^3}$
证.
$y''=f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{d(\frac{1}{\varphi'(y)})}{dx}$
$=\frac{d(\frac{1}{\varphi'(y)})}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=-\frac{\varphi''(y)}{(\varphi'(y))^2}\cdot\frac{1}{\varphi'(y)}=\frac{-\varphi''(y)}{(\varphi'(y))^3}$
$\varphi''(y)=-\frac{f''(x)}{(f'(x))^3}$

例：
$y=\arcsin x$
$y'=\frac{1}{(\sin y)'}=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

微分的幂： $dx\cdot dx=(dx)^2=dx^2$
幂的微分： $2xdx=d(x^2)$

典型的求导实例：
$(\ln |u(x)|)'=\frac{u'(x)}{u(x)}$
$(\ln (x+\sqrt{x^2+a^2}))'=\frac{1}{x^2+a^2},a\ne 0$
变限积分函数求导：
$s(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}g(t)dt$
$s'(x)=g[\varphi_2(x)]\cdot\varphi_2'(x)-g[\varphi_1(x)]\cdot\varphi_1'(x)$

参数方程求导: $\begin{cases}x=\phi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$
一阶求导： $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{y'_t}{x'_t}$ ，记为 $u(t)$
二阶求导： $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dt})/dt}{dx/dt}=\frac{du/dt}{dx/dt}=\frac{u'_t}{x'_t}$

例题
设 $y=y(x)$ 由参数方程 $\begin{cases}x=\sin t\\y=t\sin t+\cos t\end{cases}$ ( $t$ 为参数)确定，求 $\frac{d^2y}{dx^2}|_{t=\frac{\pi}{4}}$
$\frac{dy}{dx}=\frac{\sin t+t\cos t-\sin t}{\cos t}=t$
$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{t'_t}{x'_t}=\frac{1}{\cos t}$
故 $\frac{d^2y}{dx^2}|_{x=\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}$

隐函数求导：
设函数y=y(x)是由方程F(x,y)=0确定的可导函数，则
第一步：F(x,y)两边对x进行求导，将y=y(x)看作一个中间变量，得到一个关于y'的方程
第二步：解方程得到y'

例题
$y=y(x)$ 是由方程 $\sin (xy)=\ln\frac{x+e}{y}+1$ 确定的隐函数，求 $y'(0)$
$(\sin xy)'=(\ln(x+e)-\ln y+1)'$
$\cos (xy)(y+xy')=\frac{1}{x+e}-\frac{y'}{y}$
当 $x=0$ 时， $y=e^2$

幂指函数求导：( $\color{red}{重要等级一颗星}$ )
$(u^v)'=(e^{v\ln u})'=u^v\cdot(v'\cdot\ln u+v\cdot\frac{u'}{u})$

例题
求函数 $y=x^{\frac{1}{x}}(x\gt 0)$ 的导数
$y'=(x^{\frac{1}{x}})'=x^{\frac{1}{x}}(\frac{1-\ln x}{x^2})$

高阶导数：
有三种方法：

归纳法
$(\frac{1}{x})^{(n)}=(-1)^n\frac{n!}{x^{n+1}}$
$(\ln x)^{(n)}=(\frac{1}{x})^{(n-1)}$
$(a^x)^{(n)}=a^x(\ln a)^n$
$(\frac{1}{x})^{(n)}=(-1)^n\frac{n!}{x^{n+1}}$
$(\sin kx)^{(n)}=k^n\sin(x+\frac{n\pi}{2})$
$(\cos kx)^{(n)}=k^n\cos(x+\frac{n\pi}{2})$
用高阶求导公式
设 $u(x),v(x)$ ，均可n阶求导，则
$[u\pm v]^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$
$(uv)^{(n)}=\sum_{i=1}^nC_n^ku^{(i)}v^{(n-i)}$
用泰勒公式
任何一个无穷阶可导函数（在收敛的条件下）都可以写成
$y=f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
用这种方法计算导数的时候，都是一些常见的无穷阶可导函数，可以通过已知公式展开成幂级数
然后与已知的公式比较展开式的系数从而获得 $f^{(n)}(x_0)$

例题
设 $y=x^3\sin x$ ，求 $y^{(6)}(0)$
y的泰勒展开式为： $y=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{y^{(n)}(0)}{n!}x^n$
而通过已知公式对y进行泰勒展开可得
$y=x^3(x-\frac{1}{6}x^3+\cdots)=x^4-\frac{1}{6}x^6+\cdots$
故 $\frac{y^{(6)}(0)}{6!}=\frac{-1}{6}$
$y^{(6)}(0)=-5!=-120$

第四讲 一元微分函数微分

第一部分 导数

第二部分 微分

第三部分 导数计算问题

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