分形艺术与分形几何 课程分享65
这是通识选修课《社会科学与数学》第九讲《美术与数学》的第三节，简单介绍分形艺术与分形几何。
第九讲《美术与数学》
第三节 分形艺术与分形几何
“分形”一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于 1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有“破碎”、“不规则”等含义。曼德尔布罗特研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构。
曼德尔布罗特集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如前面提到的“海岸线长度问题”，无论你怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。
微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。所以说，曼德尔布罗特集合是向传统几何学的挑战。用数学方法对放大区域进行着色处理，这些区域就变成一幅幅精美的艺术图案，这些艺术图案人们称之为“分形艺术”。
1.二维图
（图片1）（图片2）（图片3）（图片4）
2.三维图
曾经有一群数学“极客”利用特定的数学方程经过反复迭代算法创作出一组令人叹为观止的三维分形结构图案。
“极客”一词，来自于美国俚语“geek”的音译，一般理解为性格古怪的人。数学“极客”大多是指，并不一定是数学专业但又对数学等技术有狂热的兴趣并投入大量时间钻研的人。
以下图中的这些三维结构尽显美丽而神奇的特点，有的像细腻的法国奶油蛋糕，有的像神话或科幻小说中的神秘洞穴。（图片5）
极客们把图中的球状物称为“曼德尔球”(Mandelbulb)，该名称来源于分形几何的创始人曼德尔布罗特(Mandelbrot)。这个三维图就是由一个原始球体经过一种迭代算法而产生。极客们将原始球体上各点的三维数据运用同一方程进行无数次的重复运算就得到了这个“曼德尔球”结构。这一过程与二维“曼德尔布罗特”集合的形成过程相似。（图片6）
丹尼尔-怀特是一位分形艺术爱好者，也是这组作品的创作者之一。他认为，这组作品并不仅仅是三维“曼德尔布罗特”集合，它们比普通的三维“曼德尔布罗特”集合看起来更美丽、更迷人。怀特指出，他们所有的原始方程中，只有一部分可以产生如此迷人的三维图，有些原始方程只有在进行至少2次方运算之后才可以产生一些迷人的效果。普通人从本图中根本找不出它的规律所在。
如果将原始方程进行8次方运算，就可能会得到更细致、更美丽的图案，甚至连怀特等人都无法解释为什么会形成如本图所示的美妙图案。（图片7）
怀特等人在这些作品上花费了大量的精力。他们将这些作品无限放大，致力于寻找更为有趣的结构。图中这个造型很像是一种法国奶油蛋糕，因此怀特把它称之为“曼德尔布罗特蛋糕”。（图片8）
即使是单方程，只要经过数千次的迭代运算，同样也可以产生一个完整的结构。比如本图所示的结构，看起来就像是人类已发现的某行星表面的地质结构。（图片9）
许多时候，甚至连怀特等人都会惊讶于曼德尔球内部结构的复杂性。在为本图撰写说明时，怀特这样写道：“这个世界显得非常杂乱，里面包含了许多数学秘密，因此形成了诸如此类的巴洛克风格美景。”（图片10）
图中呈现出许多巴洛克风格的桥梁和柱子。“巴洛克”是一种风格术语，指自17世纪初直至18世纪上半叶流行于欧洲的主要艺术风格。该词来源于葡萄牙语barroco，意思是一种不规则的珍珠。
即使经过8次方运算，有些曼德尔布罗特三维结构仍然无法展现其全部的细节，即仍可对其进一步运算以获得更详细、更神奇的结果。本图中好似“生奶油”的部分，看起来就算不上真正的曼德尔布罗特三维结构。（图片11）
怀特和“分形论坛”的其他成员对他们所创作的三维结构非常满意。尽管这些结构在现实中并不存在，但它们可以通过计算机软件获得。从社会学角度讲，这种技术显得相当神奇，它可以创造出一个美丽的世界。
附注.曼德尔布罗特
伯努瓦·曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot，1924-2010年），分形几何之父，出生于波兰，童年时随家人移居法国，后来在美国担任耶鲁大学名誉教授。（图片12）
1924年11月20日，伯努瓦·曼德尔布罗特出生于波兰华沙的一个立陶宛犹太人家庭。父亲是成衣批发商，母亲是牙科医生。由于当时局势紧张，他的学业时断时续，受的教育也很不正规。他声称自己从未认真学习过字母，也没有系统地背诵过乘法口诀，只背过五以下的乘法表。
11岁时，他跟着家人逃避战乱来到法国巴黎，投奔他的叔叔、知名数学家佐列姆·曼德尔布罗特。战争来临时，一家人又逃到法国南部的蒂勒镇。曼德尔布罗特做过一阵子机床维修学徒工后，巴黎解放，没有什么学术根底的他，完全靠自己的天赋和直觉，通过了巴黎高等理工学校长达一个月的笔试和口试。在该校学习期间，他参加过法国著名的数学团体--布尔巴基(Bourbaki)协会，但由于该协会摒弃一切图画，过分强调逻辑分析和形式主义，使得他无法忍受而成了一位叛逆者。那时候他已经意识到，不管给出什么解析问题，他总是可以用脑海中浮现的形状来思考。
曼德尔布罗特1948年获美国加州理工学院硕士学位，1952年获巴黎大学博士学位。毕业后，他的职业生涯并不顺利，先是在瑞士知名心理学家让·皮亚杰(Jean Piaget)手下干了一段时间，然后于1953年前往美国普林斯顿高等研究院工作了一年。1958年，他在IBM公司的沃森研究中心获得一个职位。在那里，他依靠自己的几何直觉去研究看似毫无规律可循的事物，分析过棉花价格的涨落规律、尼罗河水位的变化情况、电话通路中自发噪声的本质以及英国海岸线的真实长度。在他看来，自然界的规律并不总是通过简化为理想的图形才能发现，往往复杂性本身也是有规律的。
与经典的描绘光滑、圆润对象的几何学(如欧氏几何学)相反，曼德尔布罗特创造了一种表现斑点、缠绕、破碎对象的几何学。他认为，这种复杂性不是随机和偶然的，这些奇形怪状是有意义的，是自相似的，是跨越不同尺度对称的，而且这常常是理解事物本质的关键。他为这种复杂性引入了分维和分形(fractal)的概念，并将分形理论归纳为一个简洁的公式：f(z)=z^2+c。在2010年春季的一次演讲中，曼德尔布罗特解释说，如果你切开一朵花椰菜，会看到一样的花椰菜，只是小一点；如果你不断地切、不断地切，你还会看到一样的花椰菜，只是更小一点。
2010年10月14日，伯努瓦·曼德尔布罗特在美国马萨诸塞州剑桥辞世，享年86岁。
