量子计算

Bloch球

1. 密度算符
两态系统（自旋、偏振等等）的态可以用Bloch球上一点来表示。具体是通过密度算符
$\rho =|\psi \rangle \langle \psi |= \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma }\cdot \boldsymbol{n}$
密度算符有两个本征态，一个是 $|\psi \rangle= |n+ \rangle$ ，另一个是 $|n- \rangle$ ，两个态在Bloch球上关于原点对称，相互正交。
2. 测量状态
通过制备纯系综，测量系综位于x,y,z轴正负方向的概率之差可以得到x,y,z的值，获得系综的状态。
3. 态矢量的演化
绕x,y,z轴旋转 $\delta$ 角的矩阵为，请自行验证。
$\left( \begin{matrix} \cos \frac{\delta}{2}& -i\sin \frac{\delta}{2}\\ -i\sin \frac{\delta}{2}& \cos \frac{\delta}{2}\\ \end{matrix} \right) =e^{-i\frac{\sigma _x}{2}\delta} \\ \left( \begin{matrix} \cos \frac{\delta}{2}& -\sin \frac{\delta}{2}\\ \sin \frac{\delta}{2}& \cos \frac{\delta}{2}\\ \end{matrix} \right) =e^{-i\frac{\sigma _y}{2}\delta} \\ \left( \begin{matrix} 1& 0\\ 0& e^{i\delta}\\ \end{matrix} \right) =e^{-i\frac{\sigma _z}{2}\delta}$
可以证明，绕任意n轴旋转 $\delta$ 角的矩阵为
$e^{-i\frac{\boldsymbol{\sigma }\cdot \boldsymbol{n}}{2} \delta}=\cos \frac{\delta}{2}-i\sin \frac{\delta}{2}\left( n_x\sigma _x+n_y\sigma _y+n_z\sigma _z \right)$
重要：任意幺正算符对态的作用都可以视为在Bloch球上的旋转。

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