事情的开端，是这样的。

　　我一直在想，一个命题为什么只能是真或者假？虽然模糊逻辑提出了这个二重态的混合态，但本质上来说还是真假二元的。可为什么一个命题不是真的就是假的？不能既真又假，或者既非真亦非假？或者无法判定一个命题的真假——这也是真假以外的一个状态。

　　是命题天生只能有真假二分，还是说是我们已经习以为常了真假二分的命题，所以在数学上规定了命题只能真假二分？

　　元素和集合的关系都有哪些呢？一般来说，一个元素要么属于一个指定集合，要么不属于。但，这种二分到底是元素和集合天然就有的关系，还是因为我们已经习惯了如此关系和元素和集合，所以在数学上强行构造了这么一种关系结构呢？

　　维特根斯坦的逻辑哲学的基础是命题的真假函项，但如果我们不用这个为前提，而采用模糊逻辑，那么是否会引入概率分布和统计呢？如果出现统计，使用贝叶斯概率还是不含主观因素的非贝叶斯概率呢？

　　我们都知道自然数的严格定义依赖于以后继数为基础的皮亚诺公里（基于序数理论，基数理论有别的定义方法），但究竟是皮亚诺公理给出了自然数，还是自然数给出的皮亚诺公理？

　　上述所有问题可以统一成一句话：到底是数学天生就是如此，还是我们选择了如此这般的数学？

　　让我们先歇一下，想想究竟什么是数学？

　　对究竟什么是物理这样的问题的探究会让人陷于迷思——比如关于“物理”、“物理理论”和“物理学家的物理理论”这三样东西，你能一下子说出它们的不同和关联吗？

　　有自然存在之物做参照的物理学尚且让人有点摸不着头脑，这纯思辨的数学就更摸不着边际了。

　　在我看来，数学就是研究一切逻辑上与形式上可能存在之物的学问。

　　既然是一切逻辑上和形式上可能存在的对象，那么，回到上面的问题——那些问题我们现如今的选择，是唯一的选择，还只是因为历史原因而我们做出的选择呢？

　　究竟世界本就如此，还是世界演化至此？

　　让我们来看自然数的序数和基数的两种定义方式：

　　自然数的序数定义（皮亚诺公理）：

　　满足以下五点的系统，被称为“自然数集”，其中的元素称为“自然数”：

　　1，存在始元，记为1；

　　2，任意元素n有且只有为一个的“后继数”，记为n+1，且n+1也是该集合元素；

　　3，如果元素m和n的后继数是同一个元素，那么m和n必然也是同一个元素；

　　4，始元1不是任何该集合中元素的后继数；

　　5，如果存在一个集合S，始元1是S的元素，且如果元素n在S中，则n的后继数n+1也在S中，那么S必然就是自然数集。

　　这是通过序数理论构建出的自然数和自然数集的定义。

　　而从基数理论，自然数和自然数集可以这样给出：

　　记录0={}，1={0}={{}}，那么自然数n就是集合：n={0,1,2...n-1}，及自然数n就是所有小于n的自然数为元素构成的集合。

　　通过上面两个定义，我们自然可以看出：这样定义出的集合，的确就是自然数集，而其中的元素，也的确就是自然数。

　　当让我们后退一步，站在外面重新看这两条定义，它们到底是“构造了自然数”，还是“描述了自然数”？

　　比如说，为什么皮亚诺公理选择了这样的五个条件？

　　我想答案更多是“这样的条件可以给出符合我们所理解的自然数的集合”。可这样就是“先有了自然数，然后找出描述自然数的一组最精简的条件”，而不是“从无到有地构造出了自然数”。换言之，这样得到的自然数，是以我们日常生活中所接触到的自然数为标本所作的严谨描述，但本身并不能回答这么一个问题——为什么自然数是这样的。

　　它可以告诉我们，从数学的角度，如何选择一个公理体系并构造出自然数，但无法告诉我们为什么要这么构造。

　　是为“知其然不知其所以然”也。

　　比如说群这个数学对象，其定义为：

　　一个群，其上定义一个二元运算×，运算×满足：

　　1，a×b是集合中的元素（封闭性）；

　　2，(a×b)×c=a×(b×c)（结合律）；

　　3，存在单位元满足e×a=a×e=a；

　　4，任何元素a存在逆元b使得a×b=b×a=e。

　　我们一般都认为上述的定义给出“群”这个数学对象的严格描述，但这个定义并不是牢不可破的，换言之并不是说一个数学对象只能由着四条定义给出，缺一不可，相反地，缺少一点东西以后能得到更广阔的内容，比如去掉逆元这个条件，我们得到了幺半群；如果再去掉存在单位元这个条件，就得到半群；接下来，单独砍掉结合律，我们得到环群；在环群上砍掉单位元，就得到拟群；如果在群的定义上单独去掉封闭性，我们得到广群；如果再在广群基础上砍掉逆元，就得到范畴（当然，应该是非真类的小范畴，大范畴可以定义在类上，而群是定义在集合上的）。

　　也就是说，群这个对象之所以这么要求，是因为我们需要这些要求来描述群这个我们已经熟知的东西（群和对称的经验起源是共通的）。如果我们将这些描述松动一下，或者甚至修改一下，我们就能得到不同而有联系的另一类东西。

　　自然数也是这样——为什么要皮亚诺的五条条件？因为这五条条件构成的公理体系描述了我们熟知的自然数——而不是说自然数天生就长这样。

　　是我们先有了并熟悉了自然数的概念，然后我们才找出了皮亚诺公理体系来描述这个我们早已熟知的东西。

　　如果我们对这五条做一点小修改，说不定就能得到不同的东西——可以不叫自然数，而是叫广义自然数或者亚自然数泛自然数什么的。

　　因此，这就牵扯到这么一个问题——我们现在所认为的数学的基础——无论是公理集合论还是拓扑斯——到底有多少是我们人为选择出来的呢？

　　换言之，我们目前的数学，是“所有可能的逻辑与形式的一部分”，还是就是“所有可能的逻辑与形式”？

　　或者问，我们现在的数学是理应如此的，还是演化至此的？

　　选择一些彻底不同的基础，是否可能得到意想不到的数学？还是已经包含在现有数学中了？

　　比如，如果命题不只有真假之分，加入元素可以不只在指定集合内外，存在这种楚河汉界划分之外的关系，那么数学会是如何的？

　　——还是说，存在数学原则要求不能做如此跨越二元的状态？

　　你看，连数学都未必是一成不变的，何况别的那些日常观念乎？

　　换个视角，世界将格外精彩。