在我们八下的学习过程中，我们学习到了勾股定理。我们之前学习全等三角形时简单的了解了一下直角三角形性质的特殊性，但是学习勾股定理之后我觉得直角三角形确实是一个很神奇的图形。

  我们先来想想，一个直角三角形有什么样的性质？首先可以从两个角度去想，一个是角一个是边。关于角的性质有什么？比如说其中一个外角是其余两个内角之和。还有内角和等于一百八十度，外角和等于三百六十度。关于边的有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。其余的性质还有三角形具有稳定性。但是这都是所有三角形共有的性质，而直角三角形我们首次了解到的就有一个，就是30°定理（斜边所对的直角边是斜边的二分之一），而勾股定理又是一个新的直角三角形的性质。

  首先观察这两个图形：

  可以看到第一个图形中两个小正方形的面积都是9，而大正方形的面积是18。第二个图形中小正方形面积是4，大正方形面积是8。由此我们可以观察出来，两个小正方形的面积之和就是大正方形的面积。在图形中两个小正方形的边长分别是a、b，而大正方形的边长是c，这三个边组成了一个三角形，由此我们可以得出：SA+SB＝SC，也就是a²+b²＝c²。但是这两个图形中的直角三角形都是等腰直角三角形，那么不是等腰直角三角形的三角形能否满足这个猜想呢？

  再看这两个图：

  这两个图形中的三角形已经不是等腰直角三角形了。第一个图形中正方形A的面积是16，正方形B的面积是9，边长分别是a和b。而大正方形的面积是25，边长是c，我们还可以观察出这依旧满足我们上面得出的猜想。

  但是这还仅仅是个猜想，我们还需要找方法去证明。我们可以看到上面两个图形中都有方格，所以仅仅凭数方格算面积的方法是不行的。所以数学家们就用一些组合的图形间接的推出了勾股定理。看下面这个图形：

  怎么用他去证明勾股定理呢？首先我们需要证明大正方形中的四个直角三角形是全等三角形，才可以得出大正方形的边长。证明过程如下：

  这样我们就得知了四个三角形的长直角边长度都是a，而短直角边的长度都是b，斜边是c。这时我们就可以表示大正方形的面积了。我们既可以用（a+b）²去表示，也可以算出中间的正方形和四个三角形面积的和，用2ab+c²去表示。而根据我们之前学习的因式分解可以根据完全平方公式把（a+b）²变成a²+b²+2ab，再等量代换一下，a²+b²就＝c²了。

  还有一个办法是美国总统发现的，看下面这个图形：

  我们还是同样的用两种方法去表示它，第一种我们可以用梯形公式，也就是1/2×（a+b）²。还可以将里面的图形面积加在一起，表示为ab+1/2c²。讲第一个拆分开来就是1/2a²+1/2b²+ab，再等量代换一下就是1/2a²+1/2b²＝1/2c²。最后得出a²+b²＝c²。

  再看另外一种赵爽找到的方法。三角形的两条直角边分别是a和b，斜边是c，正方形的边长也是c。而中间的小正方形边长是b-a，就可以得出等式，4×1/2ab+（b-a）²＝c²，也就是a²+b²＝c²。

  这是证明勾股定理的好多种方法之中的几个，还有更多的证明方法，但是很多方法的本质都和这个一样，都是将一个图形的面积分别用整体表示和分成很多小图形加在一起表示。

  那么现在我们证明出来了勾股定理，我们还要思考这个定理有没有逆定理呢？我们观察3、4、5，5、12、13这两组数，我们很清晰的知道他们可以组成一个直角三角形，因为他们的左边两个数作为直角三角形的直角边可以满足a²+b²＝c²。但是如果遇到不能一眼判别的数，我们能否根据规律判断它能否组成直角三角形呢？

  观察这个图片，其中有两个三角形，其中一个是边长分别为abc的三角形，而另外一个是根据这个三角形作的直角三角形，它的两个直角边与另一个三角形的ab边相等，也就是EF＝BC，DF＝AC。

  证明过程如下：

  我们的核心是要证明AC和DF相等，从而根据SSS证明两个三角形全等，其中一个是直角三角形，自然另外一个也是直角三角形，我们就这样证明出了勾股定理的逆定理。

  在学习勾股定理的过程中，我觉得真的很神奇，因为观察每一个直角三角形，除了都有一个直角之外其余都大不相同，但是却都存在着这样一个性质，可以证明一个三角形是不是直角三角形。刚开始的时候我认为勾股定理就是一个公式，但是现在我却觉得勾股定理就是一个直角三角形的象征，没有满足它的三角形就不是直角三角形。

  在我们学习完勾股定理之后，我们可以更轻易的学习更多的几何问题，我也很开心我证明出了勾股定理。