T0007f(x).sinx型的函数

奇偶性：

若 y = f ( x ) 是奇函数，则 y = f ( x ) · \sin x 为偶函数，若 y = f ( x ) 是偶函数， y=f(x) \cdot \sin x为奇函数；

零点：

函数 y = f ( x ) · \sin x 的零点除了 f ( x ) 的零点之外，还有 x = k π， k ∈ Z （需满足定义域 ) .

周期性：

若 f ( x ) 是周期函数，则函数 y = f ( x ) · \sin x 的周期为 y = f ( x ) 与 y =\sin x

周期的公倍数；若 f ( x ) 不是周期函数，则 y = f ( x ) · \sin x 不是周期函数．

图象：

因为 - | f ( x ) | ≤ f ( x ) · \sin x ≤ | f ( x ) |，且当 x= \frac{ \pi }{2}+k \pi (k \in Z ) 时取等号，

结合函数的零点，我们可推出函数 y = f ( x ) · \sin x 的图象在 y = | f ( x ) | 与 y = - | f ( x ) |

之间上下摆动，且公共点是切点，可以通过导数证明，这里略．

例如： y = x\sin x 和 y =\sin x 的图象分别如下：



单调性 : 

函数 y = f ( x ) · \sin x 的单调性与 f ( x ) 紧密相连 , 需要具体问题具体分析 .

但是对于 y = x^n · \sin x ( n ∈ Z , 且 n ≠ 0 ) 有如下结论 :

当 n > 0 时 , y = x^n · \sin x 在 (0, \frac{ \pi }{2}) 上单调递增 ;

当 n < 0 时 , y = x^n · \sin x 在 (0, \frac{ \pi }{2}) 上单调递减 .



Litiの1

例某学生对函数 f ( x ) = x\sin x 进行研究后 , 得到如下四个结论 :

( 1 ) 函数 f ( x ) 在 \left[ - \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right] 上单调递增 :

( 2 ) 存在常数 M > 0 , 使 | f ( x ) | ≤ M | x | 对一切实数 x 都成立 ;

( 3 ) 函数 f ( x ) 在 ( 0 , π ) 上无最小值 , 但一定有最大值 ;

( 4 ) 点 ( π , 0 ) 是函数 y = f ( x ) 图象的一个对称中心 .

其中正确的是 ( )

A . ( 1 ) ( 3 )      B . ( 2 ) ( 3 )       C . ( 2 ) ( 4 )      D . ( 1 ) ( 2 ) ( 4 )






Timoの1

若 0<x< \frac{ \pi }{2} , 则下列命题中正确的是 (      )

A . \sin x< \frac{3}{ \pi }x \quad B . \sin x> \frac{3}{ \pi }x C . \sin x< \frac{4}{ \pi ^{2}}x^{2} \quad D . \sin x> \frac{4}{ \pi ^{2}}x^{2}




Timoの2



已知函数 f (x)= \frac{ \sin x}{x} .

( 1 ) 判断下列三个命题的真假 :

① f ( x ) 是偶函数 ;

② f ( x ) < 1 ;

③  x= \frac{3}{2} \pi  时 , f ( x ) 取得极小值 .

其中真命题有 ( 写出所有真命题的序号 ) ;

( 2 ) 满足 f( \frac{n \pi }{6})<f( \frac{n \pi }{6}+ \frac{ \pi }{6}) 的正整数 n 的最小值为




Timoの3

已知函数 f(x)= \frac{ \sin x}{x^{2}+1} 下列命题 :

①函数 f ( x ) 的图象关于原点对称 ;

②图象f(x)是周期函数.

③当  x= \frac{ \pi }{2}  时，函数 f ( x ) 取最大值；

④函数 f ( x ) 的图象与函数  y= \frac{1}{x}  的图象没有公共点。

其中正确命题的序号是 (        )

A．①③    B ．②③    C ．①④    D ．②④



答案

1.D

2.① \quad ②

3.C.









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