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T0007f(x).sinx型的函数

彼岸算术研究中心

T0007f(x).sinx型的函数

奇偶性：

$若 y = f ( x ) 是奇函数，则 y = f ( x ) · \sin x 为偶函数，$ $若 y = f ( x ) 是偶函数， y=f(x) \cdot \sin x为奇函数；$

零点：

$函数 y = f ( x ) · \sin x 的零点除了 f ( x ) 的零点之外，$ $还有 x = k π， k ∈ Z （需满足定义域 ) .$

周期性：

$若 f ( x ) 是周期函数，则函数 y = f ( x ) · \sin x$ $的周期为 y = f ( x ) 与 y =\sin x$

$周期的公倍数；若 f ( x ) 不是周期函数，$ $则 y = f ( x ) · \sin x 不是周期函数．$

图象：

$因为 - | f ( x ) | ≤ f ( x ) · \sin x ≤ | f ( x ) |，$ $且当 x= \frac{ \pi }{2}+k \pi (k \in Z ) 时取等号，$

$结合函数的零点，我们可推出函数$ $y = f ( x ) · \sin x 的图象在 y = | f ( x ) | 与 y = - | f ( x ) |$

$之间上下摆动，且公共点是切点，可以通过导数证明，$ $这里略．$

$例如： y = x\sin x 和 y =\sin x 的图象分别如下：$

单调性 :

$函数 y = f ( x ) · \sin x 的单调性与 f ( x ) 紧密相连 ,$ $需要具体问题具体分析 .$

$但是对于 y = x^n · \sin x ( n ∈ Z , 且 n ≠ 0 ) 有如下结论 :$

$当 n > 0 时 , y = x^n · \sin x 在 (0, \frac{ \pi }{2}) 上单调递增 ;$

$当 n < 0 时 , y = x^n · \sin x 在 (0, \frac{ \pi }{2}) 上单调递减 .$

Litiの1

例某学生对函数 $f ( x ) = x\sin x$ 进行研究后 , 得到如下四个结论 :

( 1 ) 函数 f ( x ) 在 $\left[ - \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right]$ 上单调递增 :

( 2 ) 存在常数 $M > 0 , 使 | f ( x ) | ≤ M | x |$ 对一切实数 x 都成立 ;

( 3 ) 函数 f ( x ) 在 ( 0 , π ) 上无最小值 , 但一定有最大值 ;

( 4 ) 点 ( π , 0 ) 是函数 y = f ( x ) 图象的一个对称中心 .

其中正确的是 ( )

A . ( 1 ) ( 3 ) B . ( 2 ) ( 3 ) C . ( 2 ) ( 4 ) D . ( 1 ) ( 2 ) ( 4 )

Timoの1

$若 0<x< \frac{ \pi }{2} ,$ 则下列命题中正确的是 ( )

$A . \sin x< \frac{3}{ \pi }x \quad B . \sin x> \frac{3}{ \pi }x$ $C . \sin x< \frac{4}{ \pi ^{2}}x^{2} \quad D . \sin x> \frac{4}{ \pi ^{2}}x^{2}$

Timoの2

$已知函数 f (x)= \frac{ \sin x}{x} .$

( 1 ) 判断下列三个命题的真假 :

① f ( x ) 是偶函数 ;

② f ( x ) < 1 ;

③ x= \frac{3}{2} \pi 时 , f ( x ) 取得极小值 .

其中真命题有 ( 写出所有真命题的序号 ) ;

( 2 ) 满足 $f( \frac{n \pi }{6})<f( \frac{n \pi }{6}+ \frac{ \pi }{6}) 的正整数 n$ 的最小值为

Timoの3

$已知函数 f(x)= \frac{ \sin x}{x^{2}+1} 下列命题 :$

①函数 f ( x ) 的图象关于原点对称 ;

②图象f(x)是周期函数.

③当 x= \frac{ \pi }{2} 时，函数 f ( x ) 取最大值；

④函数 f ( x ) 的图象与函数 y= \frac{1}{x} 的图象没有公共点。

其中正确命题的序号是 ( )

A．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④

答案

$1.D$

$2.① \quad ②$

$3.C.$

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