几种重要的仿射集

name	class
$\mathbb{R}^n$	仿射集，凸集，凸锥
$\mathbb{R}^n 子空间$	仿射集，凸集，凸锥
任意直线	仿射集，凸集，凸锥（过原点）
任意线段	凸集，
射线 $\{x_0+\theta v \|\theta \geq 0,x_0 \in \mathbb{R}^n,\theta \in \mathbb{R},v \in \mathbb{R}^n\}$	凸集，凸锥
超平面 $\{x \|\alpha^ Tx = b,\alpha, x \in \mathbb{R}^n,b\in \mathbb{R},\alpha \neq 0\}$	仿射集，凸集，凸锥（过原点）
半空间： $\{\alpha ^T x>b\}$ Or $\{\alpha^Tx <b\}$	凸集，凸锥（超平面过原点）
球体 $B(x_c,r)=\{x\| \|\|x-x_c \|\|_2\leq r\}$	凸集（如果考虑只有原点可以为仿射集和凸锥）
椭球体 $\varepsilon(x_c,r,P)=\{x\| (x-x_c)^TP^{-1}(x-x_c)\leq 1\}$	凸集（如果考虑只有原点可以为仿射集和凸锥）
多面体（poly hedron） $P=\{{\alpha_j}^T x \leq b_j,j=1,2,...,m;{\alpha_i}^Tx = d_i,i=1,2,....,n\}$	凸集
单纯形（simplex），一定是一个多面体	凸集
对称矩阵集合： $S^n=\{x\in \mathbb{R}^{n\times n}\| x=x^T\}$	凸锥，凸集
对称半正定矩阵集合： $S_+^{n}=\{x\in \mathbb{R}^{n\times n} \| x=x^T,x\succeq0（奇异值大于等于0）\}$	凸锥，凸集
对称正定矩阵集合： $S_+^{n}=\{x\in \mathbb{R}^{n\times n} x=x^T,x\succ0（奇异值大于0）\}$	凸集，非凸锥

单纯形

定义：

$\mathbb{R}^n空间中选择v_0,v_1,...,v_k共k+1个点，且v_1-v_0,v2-v_0,...,v_k-v_0 线性无关$
$\mathcal{C}=conv\{v_0,v_1,...,v_k\} \\ \{\theta_0v_0+\theta_1v_1+...+\theta_k v_k,\theta_i \geq 0,\sum \theta_i=1\}$
理解：k+1个特殊点的凸包

证明simplex 是poly hedron 的一种

$x \in \mathbb{R}^{n}, \mathcal{C}为simplex \Leftrightarrow x=\theta_0v_0+\theta_1v_1+...+\theta_kv_k，1^{T}\theta=1,\theta_i\geq 0,v_1-v_0,v_2-v_0,...v_k-v_0 线性无关$
证明：
首先定义：
$[\theta_1,\theta_2,...,\theta_k]^{T}=y,y \geq0 \\ 1^{T}y+\theta_0=1 \Rightarrow 1^Ty\leq 1 \\ [v_1-v_0,v_2-v_0,...,v_k-v_0]=B \in \mathbb{R}^{n \times k}$

$x \in \mathcal{C} \Leftrightarrow x=\theta_0v_0+\theta_1 v_1 +....+\theta_kv_k \\ x=(\theta_0+\theta_1+...+\theta_k)v_0+\theta_1(v_1-v_0) + \theta_2(v_2-v_0)+...+\theta_k(v_k-v_0) \\ =v_0+By$

$因为：v_1-v_0,v_2-v_0,...,v_k-v_0线性无关，rank(B)=k \leq n,也就是列满秩\\ 一个列满秩的矩阵总可以变换为：\left[\matrix{I_k\\0}\right] \\ 总会存在一个非奇异矩阵（奇异值不为0）A = \left[\matrix{A_1 \\A_2}\right] \in \mathbb{R}^{n\times n}$

$AB=\left[\matrix{A_1\\A_2}\right]B=\left[\matrix{I_k,0}\right]$

$在32式左乘A：Ax=Av_0+ABy \\ \left[\matrix{A_1\\A_2}\right]x=\left[\matrix{A_1\\A_2}\right]v_0+\left[\matrix{A_1\\A_2}\right]By \\= \left[\matrix{A_1\\A_2}\right] v_0 +\left[\matrix{A_1B\\A_2B}\right]y \Leftrightarrow \begin{cases} A_1x=A_1v_0+y\\ A_2x=A_2v_0 \end{cases} ,i^{T}y \leq1 ,y\geq0 \\ \begin{cases} A_1x \geq A_1v_0 \\ A_2x=A_2v_0 \\ 1^T A_1x \leq 1^TA_1v_0+1 \end{cases}$

证明 $S_+^{n}是凸锥（cone - convex）$

即证明: $\forall \theta_1,\theta_2 \geq 0,且A,B \in S_{+}^n \Rightarrow \theta_1 A + \theta_2 B \in S_{+}^n$
由半正定的定义： $\forall x \in \mathbb{R}^n: x^TAx \geq0, x^TBx\geq0$
$\forall x \in \mathbb{R}^n,x^T(\theta_1A+\theta_2B)x =\theta_1x^TAx+\theta_2x^TBx \geq0 \\ 所以S_{+}^n是凸锥，同时也是凸集$

凸优化-2

凸优化-2

几种重要的仿射集

单纯形

定义：

证明simplex 是poly hedron 的一种

证明 $S_+^{n}是凸锥（cone - convex）$

推荐阅读更多精彩内容