微波第二章传输线理论

一、传输线方程及其解

1、双导线的射频效应：

（1）导体损耗——单位长度串联电阻R0

（2）介质损耗——单位长度并联电导G0

（3）电感效应——单位长度串联电感L0

（4）电容效应——单位长度并联电容C0

（5）于是，在一个微分段内，双导线可以等效集总电路模型。

双导线的集总电路模型

频率高导线上存在电感效应，又加之有损耗电阻，故有串联电阻和电感，导线间存在及介质频导线间存在电导，导体间又存在电容。

根据基尔霍夫定律，微分段上电压差和电流差满足：

令 $\Delta Z\rightarrow 0$ ，则， $\Delta U\rightarrow 0$ ， $\Delta I\rightarrow 0$ 于是

著名的电报方程，也称为传输线方程。

电流随时间的变化等于电压隋空间的变化，由公式可知这是个波---

在频域，设时间因子为

于是，频域的电报方程为(类似于做傅里叶变换)

不难得到，频域波动方程为（去耦求二阶导）

将U的解

代入电报方程，可得

通常设 $\gamma =\alpha +j\beta$

则 $\alpha$ 称为衰减常数， $\beta$ 称为相移常数。

无耗时 $R_{0} \rightarrow 0$ ， $G_{0} \rightarrow 0$ 则

$Z_{c} =\sqrt{\frac{L_{0} }{C_{0} } }$ --实数 $\alpha =0$

$\beta =\omega \sqrt{L_{0}C_{0} }$ $\gamma =j\beta --虚数$

特性阻抗和传播常数是反映传输线特性的特征量，非常重要！

传输线解的物理意义：解中包含

则解为

$e^-（az）$ 表示沿正z方向按指数衰减。

$e^-（az）$ 表示沿负z方向按指数衰减

当 $\omega t-\beta z=常数（等相位面）$ ，则

保持常数。换句话说，当 $\omega t_{1} -\beta z_{1} =\omega t_{2} -\beta z_{2}$ 时，表示 $t_{1}$ 时刻 $z_{1}$ 地点的场在时刻地点又出现了，这正是波的特性。波速可以这样计算 $v_{p} =\lim_{t_{1}, z_{1} \to z_{1} , t_{2}} \frac{z_{ 2}-z_{1}}{t_{2}-t_{1}} =\frac{d_{z} }{d_{t} } \gg v_{p} =\frac{\omega }{\beta } >0$

于是，得到结论：

$Z_{c}$ 的物理意义：入射波电压和反射波电流之比。

$Z_{c} =\frac{U_{i} }{I_{i} } =-\frac{U_{r} }{ I_{r} }$

$\alpha$ 的物理意义：波振幅的衰减常数

$\beta$ 的物理意义:波相移常数

波长 $\lambda$ 的定义：等相位面在一个周期内沿纵向移动的距离。 $\beta \lambda =2\pi \implies \lambda=\frac{2\pi }{ \beta }$

于是，相移因子也可以写为

$\tilde{z} =\frac{z}{\lambda }$ 称为电长度，传播特性只与电长度有关。由

$v_{p} =\frac{\omega }{\beta } =\frac{ 2\pi f}{\beta }$ ,又有 $\lambda =\frac{v_{p} }{f}$

当电长度很短时，即频率很低（波长很长）或线长度很短，线上的波动性很弱。

2、传输线方程特解

特解是指在特定边界条件下，传输线上电压电流的解。

对于传输线，通常的边界条件有：终端条件、源端条件和电源、阻抗条件

1、终端边界条件

已知

代入通解，为

得到

于是

为了简化解的形式，采用坐标变换 $Z’ =l-z$ 根据复数Euler公式最后得

写成矩阵形式更方便于记忆和运算

后面未加特殊说明时，均表示Z=0放在终端

源端边界条件已知 $U（Z=0）=U_{1} ，I（Z=0）=I_{1}$ 可采用与终端边界条件相同的处理方法。

$U_{1} =A_{1} +A_{2}$ ,, $I_{1} =\frac{1}{Z_{c} } （A_{1} -A_{2} ）$

$A_{1} =\frac{U_{1} +Z_{c}I_{1} }{2}$ $A_{2} =\frac{U_{1} - Z_{c}I_{1} }{2}$

整理得

3. 电源阻抗条件

已知 $E_{g}$ , $Z_{g}$ , $Z_{L}$ 根据基尔霍夫定律，电路方程为

$U_{1} =E_{g} -I_{1} Z_{g} ; U_{2} =E_{g} -I_{2} Z_{L}$

考虑源端条件

$U_{1} =A_{1} +A_{2} =E_{g}-I_{1} Z_{g}$

$U_{2} =I_{2} Z_{L}$

解得： $A_{1} （1+\frac{Z_{g}} {Z_{c}} ）+A_{2} （1-\frac{Z_{g}} {Z_{c}} ）=E_{g}$

$A_{1} -A_{2}\Gamma _{g} =\frac{Z_{c} E_{g} } {Z_{c}+Z_{g}} ;$

$\Gamma _{g}=\frac{Z_{g}-Z_{c} }{Z_{g}+Z_{c}}$ 源端反射系数

再考虑终端条件

解得

即

负载端反射系数： $\Gamma _{L} =\frac{Z_{L} -Z_{c} }{Z_{L} + Z_{c}}$

于是：

3、加载无耗传输线的阻抗

实际中，当端接不同负载时，会呈现不同的状态。

设入射波从源发出（z=0），无耗传输线上的电压、电流为

其中：A1 — 源端的入射波电压

A2 — 源端的反射波电压

往负载端看去的特性，线上任一点往负载看去的输入阻抗定义为

负载阻抗为

于是

则

于是，距离负载L处（ z=0,z'=L）的输入阻抗(传输线阻抗公式) $Z_{in} =Z_{c}\frac{Z_{L}+jZ_{c}\tan \beta l }{Z_{L}+jZ_{L}\tan \beta l }$

显然，输入阻抗 $\pi$ 为周期 $\tan( \beta l+n\pi ) =\tan\beta( l+\frac{n\pi}{\beta } )=\tan\beta( l+\frac{n\lambda }{2 } )=\tan( \beta l)$

因此 $Z_{in} ( l+\frac{n\lambda }{2 } )=Z_{in}( l)$ 每经过半个波长阻抗又回去了

又因为

所以

1/4波长阻抗倒置性，线上任一点往负载看去的反射系数定义为

由于路程是入射加反射所以是2倍

于是

其中负载反射系数： $\Gamma _{L} =\frac{U_{2r} }{U_{2i}}$

于是，距离负载L处的反射系数为

且 $\vert \Gamma \vert = \vert \Gamma_{L} \vert$ 无耗传输线上反射系数的模不变。

引入反射系数概念后，电压、电流可表示为

由上式不难得到下面的几个重要关系

传输线阻抗也是波

无耗传输线的工作状态：行波状态当 $Z_{L} =Z_{c}$ 时 $\Gamma _{L} =0$ 即匹配时

在时域

行波状态即传输线匹配状态，无反射，是传输系统追求的理想状态。

传输线方程及其解：入射波与反射波

传输线特征参数：特性阻抗与传播常数

传输线参量：输入阻抗、反射系数驻波比、回波损耗

传输线状态量：电压、电流、功率

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