为什么要用工具变量
解决内生性问题，自变量与残差
相关，即
变化时，随机扰动项也会变化，导致估计值
偏离真实值
什么是工具变量
变量成为自变量
的有效工具变量需满足2个条件：
- 相关性：工具变量与内生变量相关
- 外生性：工具变量外生
为什么工具变量能解决内生性问题
一阶段回归：
代入Y与X关系式：
得到简约式回归：
虽然，但是由一阶段回归可以得出：
，由工具变量的定义得出：
，因此公式3中
与随机扰动项
不相关，满足线性回归基本假设。
由公式1得出，公式3得出
，最终得到无偏估计量
在只有一个工具变量和一个内生变量时，以上简约式的结果等价于最小二乘法：
一阶段回归：
二阶段回归，与
相关，与
不相关，
与
、
均不相关：
Y与X关系式：
由于与残差
不相关，且
，因此在只有一个工具变量和一个内生变量时，简约式的结果等价于最小二乘法，最终均能得到无偏估计量
如果为内生变量找到多个工具变量：
一阶段回归：
根据最小二乘法的原理，是
与
中信息的最优线性组合，再将
代入2式，得到无偏估计量
需要特别说明的是两阶段回归的标准误差是错误的，正确的标准误差是
工具变量通俗解释
工具变量相当于一个过滤器，把分成两部分，第一部分和
有关(即
)，第二部分和
无关(即
)。由于
与
无关，第一部分自然也和
无关，第二部分是要过滤掉的渣子：
中包含的和
有关的东西
内生性的检验：Hausman test
Hausman test的原假设是：所有解释变量均为外生变量，然后比较IV估计值和OLS估计值和的差异，如果很大，说明存在内生性问题，如果比较小，则不存在。
参考
工具变量原理：http://www.liuyanecon.com/wp-content/uploads/1017%E5%AD%94%E5%BD%A4%E9%98%B3.pdf
工具变量原理：https://www.lianxh.cn/news/b4c8cc6e6d1ba.html
工具变量例子：https://blog.51cto.com/tecdat/2770438
http://blog.sina.com.cn/s/blog_4a839b9a0100i2m2.html
工具变量通俗解释：https://www.zhihu.com/question/29067965
deepIV(两阶段最小二乘推广到非线性模型)：https://zhuanlan.zhihu.com/p/88235983
