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你会发现对今天的挑战有用术语列在下面.
条件概率 Conditional Probability
这个是这么定义的, 当某个事件发生时, 可以认为这之前已经有某个或某些事件已经发生.
P(B|A) 发生事件A的情况下, 发生事件B的概率.
如果事件A的结果对事件B没有影响, 那么事件A和B是相互独立的
即P(B|A) = P(B)
注:例如有两个硬币a和b, a正面的事件概率是1/2, 无论a正面事件怎么发生,b出现正面的事件概率也总是1/2. 即a正面和b正面的概率没关系.
如果事件A和B不是相互独立的, 我们就要考虑两个事件一起发生的概率. 这可以描述成事件A和事件B的交集(intersection),即
P(A ∩ B) = P(B|A) × P(A)
我们可以用这个定义通过得到将事件A和事件B的交集(P(A ∩ B))除以假设已经发生的事件(事件A),而得到条件概率
贝叶斯定理
假设有事件A和B, P(A | B)就是事件B发生的情况下发生事件A的概率. 反过来, P(B | A)就是事件A发生的情况下发生事件B的概率.
问题1
如果一个学生A通过某项考试的概率是2/7, 另一个学生B通不过这项考试的概率是3/7, 求这两个学生中至少有一个通过考试的概率.
解:
设P(A) = 2/7 且 P(Bc) = 3/7
我们的样本空间有4中可能的结果:
- A考过而B不过 A ∩ Bc
- A考过且B也考过 A ∩ B
- A不过而B考过 Ac ∩ B
- A不过且B也不过 Ac ∩ Bc
方法1, 我们只考虑前三种情况, 首先我们计算P(B)=1-3/7=4/7. 因为一个学生的考试成绩不会依赖于另一个学生的考试成绩. A和B是独立的,我们可以说:两个学生都通过考试的概率是P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 2/7 * 4/7 = 8/49. 洗澡我们知道两个学生都通过考试的概率,我们可以算出至少一个学生通过考试的概率:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A) × P(B)
P(A ∪ B) = 2/7 + 4/7 - 8/49 = 34/49
方法2, 另一办法就是只计算第4种情况(A和B都考不过),然后从样本空间总概率P(S)(=1)中减掉,得到一样的答案:
P(A ∪ B) = 1 - P(Ac) × P(Bc) = 1 - 5/7 * 3/7 = 49/49 - 15/49 = 34/49
问题2
历史数据显示, 在某沙漠地区, 一年(365天)才下了5天雨. 一个气象学家(meteorologist)预报说今天会下雨. 当今天下雨时, 气象学家预报的下雨预报准确率是90%. 当没有下雨时, 气象学家的错误预报下雨的概率是10%. 求今天下雨的概率.
注:我真看不懂原文什么意思..... :(
在这个问题中, 今天下雨的概率是基于今天有没有下雨.我们可以定义以下事件:
- 事件R: 如果今天下雨. P(R) = 5/365 = 1/73
- 事件Rc: 今天不下雨. P(Rc) = 360/365 = 72/73
- 事件M:气象学家预测今天会下雨:
- P(M | R) = 9/10 (下雨的情况下, 他预报了下雨的概率?)
- P(M | Rc) = 1/10 (没下雨的情况下, 他预报了下雨的概率)
现在我们求P(R | M) (他预报了下雨的情况下, 真的下雨的概率, 他的准确率?)
