一些群论，令外时空局域性(Locality)和量子的幺正性(Unitarity)

这几天忙于学习一下群表示(representation)的理论。在量子力学的框架下，物理状态或者说基本粒子是对称群的不可约表示。所以通过寻找对称群的不可约表示，就可以得出系统的所有的可能的物理态，这个含有所有态的空间就是希尔伯特空间。学过量子力学人都有体会这个方法的强大，如果不用群论的知识，就只能去解薛定谔方程，偏微分方程啊，总是一个噩梦。
目前也遇到了一个类似的问题，需要寻找到正交群SO(N)的不可约表示，找了一圈参考书，最后发现还是马中骐老师的“物理学中的群论”对这个群表示理论介绍的特别全面，还有丰富的例子帮助学习掌握。
正交群的不可约表示分为张量和自旋两类。这里我们只关注张量表示，因为其可以由向量表示直积得到。但是得到的张量空间并不是可约的，而是可以分解成多个可约表示的直和。每个可约表示都对应了一个不变的张量子空间。这样整个张量空间就可以分解成很多不变张量子空间。所以找到了每个不变张量子空间就能找到对应的不可约表示了。正交群和对称交换群S是对易的，所以他们的不变子空间是相互对应的。对称交换群的不变子空间是用氏矩阵(Young diagram)表示。同样的，我们就可以用杨氏矩阵来表示所有正交群的张量不可约表示了！
可以这样说，如果一个系统的对称群是N维空间的转动不变，那么这个系统的物理态就由SO(N)的不可约表示来表征，也对应了杨氏矩阵。
很喜欢杨氏矩阵这个概念，就像狄拉克的ket 和 bra 符号，现在每一个态可以用一个杨氏盒子来表示了！

下面总结一下Nima的报告，上周做的笔记，可能有遗漏。后来发现他在去年12月份在PSW（华盛顿特区的哲学社会？）的时候，就同样的问题做过一个2个小时的报告，那里他可能有更详细的阐释，而且Motl在他的博客TRF(The reference frame)也写过评论。网上都可以找得到。
虽然时空或是引力还没有被完全量子化，不过可以想象，时空本身不应该是基本的概念，而是从一个量子系统浮现(emerge)出来，比如弦论。在规范场/引力场(AdS/CFT)的对偶提出的20年后(真的今年是二十年啊距离Maldacena的文章)，引力等于量子场论这样的认知也越来越广为接受。在这个范式下，量子力学原理是要比时空概念更加基本一些。而Nima的想法是，量子力学和时空概念同等，都是由另外一个更深层次的结构或是概念推导出来。
他举了两个例子分别说明，时空和量子力学不是基本的物理概念。对于时空概念的责难是，时空点是虚假的，不可观测的。普遍的时空图像或是相对论里面的时候是有流形(manifold)结构的，有无数的点组成。因为不确定性原理，我们想要精确地观测的距离越短，需要的能量也就越大，最后会创造出一个黑洞，所以可观测的距离是有极限的，时空不是点状的。对于量子力学的发难是，当考虑引力的作用的时候，我们无法做出精确的量子力学的测量因为测量仪器本身的量子效应。仪器或是电器元件本身的量子效应就是阻碍我们把电子设备做下的拦路虎之一。要消除仪器本身的量子效应，或者让仪器无限的重，但是同样的会创造黑洞。还有就是把仪器放到无限远。对于封闭的宇宙，如AdS，我么可以发送信息到无限远并接受回信，但是对于我们现在真实的没有边界的宇宙，这一点也是行不通的。通过这两个例子，Nima强调，当同时考虑引力和量子力学的作用时候，两者是相互制约的。因为要实现相对论要求的局域性，标准模型是用场论来描述的。但是量子场论在4维时空的数学定义并不严格而是在4维空间要严格的定义。4维空间的场论其实等价于经典的统计力学，只有当我们从4维空间的场论过渡到4维时空的时候，量子力学的量子才显现出来，因为这个过渡会引入虚数，而虚数的引入是量子相干叠加的前提(也有人用普通的条件概率来表示相干叠加，不过表述过于繁复，还没有形成整套理论)。
接下来Nima要提出他从研究散射振幅得来的一些对物理的洞见了。他最得意的一点就是，散射振幅本身就同时体现了相对论的局域性和量子力学的幺正性。散射振幅(S matrix)可以理解为一个运动学标量的函数。这个函数的发散点包涵了局域性的信息，函数的满足一定的泛函方程(S matrix splits)体现的就是量子力学的幺正性。我们并不需要量子场论所附加的所有，仅仅需要散射振幅这个可观测量本身，通过研究他的性质，就可以得到所有的物理结果。这和上个世纪失败了的S-matrix理论如出一辙，但是新的数学结构，还有对散射振幅更深刻的理解，让这个理论重新燃了起来。这个新的数学结构就是正定几何。
简单的来讲，正定几何可以理解为多边形，多面体的推广，特点就是有低维的边间。比如一个正方体，就有面，边和顶角3种不同低维度的边界。在每一个正定几何上都可以定义个微分形式(form)。从这个微分形式我们可以得到物理的观测量。这也是与传统S-matrix理论最大的区别，由研究函数转变为研究几何。每一个散射振幅都可以由一个正定几何来表示。在场论的框架下计算散射几何时候，要对所有费曼图求和，每一个费曼图都代表了一个局域过程。但是往往当你把所有的费曼图叠加后，得到的结果非常简单。成百上千个费曼图，每一个图都是可能是一个复杂的积分，可是当你们把他们都加起来的时候，项与项互相抵消，最后只剩下很简单的表达式。可以猜想，在费曼图后面有一个更直观更简单的计算散射的过程。从目前的研究来看，正定几何很可能就是！刚才已经说过，散射振幅对应了一个正定几何，而把散射振幅分解成费曼图的过程可以理解为把正定几何分解成小块，然后计算每一个小块的微分形式，最后再加在一起。从这个角度我们也可以理解为什么每一个费曼图得到的结果都有一些发散地点，但是最后叠加的结果全是有限的。
很明显如果我们有了个全局的图像，我们可以利用更简单的方法来计算整个微分形式从而达到散射振幅！
有了正定几何这个全新的S-matrix理论，我们不再需要时空，不再需要拉式量，action，所有的物理都可以从几何性质推出，我们要做到只是选择一个动力学的空间，确定里面的正定结构就可以了。
现在同样的概念不但在场论里面翻天覆地，还被运用在宇宙学里，可以研究宇宙的波函数(Nima前年也做过一个了有关的报告)，在这次ICTS上，还给了几个lectures.
用Nima的话就是，时空已经被终结了!