基于残差平衡及边界约束的分段线性回归

时间序列自动分段

时间序列表示方法，

现有的时间序列表示方法，一般分为两类：

第一类是通过将时间序列从时域转换到频域，从频域中提取出主要特征（一般是低频部分），用这些特征来表示整个时间序列，从而达到降低维度的目的。离散傅里叶变换（DFT）、离散小波变换（DWT）和离散余弦变换（DCT）就属于这一类。

第二类是对时间序列进行分段，用常数或线段来表示该时间段内的所有观察值，从而达到降低维度的目的。根据分段大小的设定，该类方法分为自适应的和非自适应两种。非自适应方法中分段的长度是固定的，分段累积近似（PAA）就是一种非自适应的分段表示方法。自适应方法能够根据时间序列的局部细节来调整分段的长度，其中自适应分段常数近似（APCA ）就是自适应的分段表示方法。

时间序列分段

PAA

给定一个时间序列 $X=x_1,x_2,...x_n$ ，设N为该时间序列被表示后的维度 $(1\leq N\leq n)$ 。为使时间序列从n维降到N维，将数据均分为N帧，对每帧求一个均值，N个均值组成一个向量，时间序列x在N维空间中被表示为N个每帧的均值。这样时间序列从n维降到N维。这种转换生成了原始序列的一个分段常量近似，所以此方法为分段累积近似，简称PAA。

但是PAA每个帧的长度是一样的，所以PAA是非自适应的表示方法。

APCA

APCA是对PAA的改进，它与 PAA 所不同的是，分段的长度并不固定，而是在满足局部误差要求的条件下，利用动态规划或贪心算法找出分段的最佳分割点。所以，APCA 被称为自适应算法。

基于残差平衡及边界约束的分段线性回归

残差平衡

对每个窗口中的时间序列进行线性回归，然后进行预测，残差 $u_i$ 即为真实值与预测值之差。

$sign(u_i)=\left\{ \begin{array}{rcl} -1 & & {u_i<0}\\ 0 & & {u_i=0}\\ 1 & & {u_i>0}\\ \end{array} \right.$
残差平衡可以定义为，窗口中所有的残差符号之和abs_srs的绝对值小于某个设定的正整数 $\lambda$

$abs\_srs=|\sum_{i=1}^nsign(u_i)|<\lambda$

当 abs_srs =0 时，残差完全平衡。随着 abs_srs 的增大，残差变得越来越不平衡。残差平衡的设定是为了使观察值尽可能地分布在回归线的两侧。

边界约束

窗口中所有残差的绝对值的最大值，称为拟合边界。边界约束

$bound_wid=max(|u_i|)<\eta$

当同时满足残差平衡和边界约束时，认为窗口中的时间序列未发生趋势变化。

算法流程

给定一个窗口长度，残差符号阈值，边界阈值。

按照此窗口长度对每段时间序列进行线性回归。

计算每个窗口中的残差，获得符号之和以及拟合边界。

为能够进行线性回归，每个窗口内的样本容量至少为3，所以滑动窗口值应该大于3，但是不应该过大，否则会造成趋势变化点的漏检。

残差平衡约束设定也要适中，过小的话，线性表示抗噪声干扰的能力较弱，这样会把非趋势变化点误判成趋势变化点，造成不必要的分段；相反，如果过大，会造成趋势变化点漏检，就无法准确刻画时间序列的趋势变化。

同理，边界约束的阈值同样也会影响到去除噪声和趋势变化点检测的效果。

参考论文：《心电时间序列的表示方法和相似性度量问题研究》作者：高飞翔
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