生存分析8-参数模型

Cox回归模型为半参数模型，它不对基线风险函数进行估计。如果生存资料确实符合某一特定分布，采用实际分布能够更准确的估计对应参数。对半参数回归对应为参数模型（parameteric models）。包括指数分布和weibull分布等。

-各个函数之间的关系

- 死亡概率密度函数： $f(t)=lim_{△t->0}P(t≤T＜t+△t)$

- 死亡累积概率密度函数： $F(t)=\int_0^tf(u)du$

- 生存函数： $S(t)=P(T＞t)=1-P(T≤t)=1-F(t)$

- 风险函数： $h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}=lim_{△t->0}P(\frac{t≤T＜t+△t}{△t})$

- 累积风险函数： $H(t)=\int_0^th(u)du$

- 生存函数与累积风险函数的关系： $S(t)=exp(-H(t))，H(t)=-log(S(t))$

-指数分布

-概率密度函数： $f(t)=λe^{-λt}$

-累积概率密度函数： $F(t)=1-e^{-λt}$ （F(t)求导为f(t)）

-生存函数： $S(t)=1-F(t)=e^{-λt}$

-风险函数： $h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}=λ$ ，由此可见指数分布的风险恒定为λ

-累积风险函数： $H(t)=\int_0^tf(u)du=λt$

-中位数： $F(t)=0.5; 1-e^{-λt}=0.5; t=\frac{ln(2)}{λ}=median$

-均值： $mean=\frac{1}{λ}$

由生存函数可得， -log{S(t)}=λt，即与生存时间t呈线性。因此可以通过对-log(S(t))与t绘图是否呈过原点的直线来判断该生存资料是否符合指数分布。
SAS中通过proc lifetest data=XX plots=(logsurv) 绘图实现。

-威布尔分布

- 死亡概率密度函数： $f(t)=γλt^{γ-1}exp(λt^γ)$

- 死亡累积概率密度函数： $F(t)=exp(-λt^γ)$

- 生存函数： $S(t)=exp(-λt^γ)$

- 风险函数： $h(t)=λγt^{γ-1}$

     当γ=1时，为指数分布。
     分布具有两个参数：
          γ：Shape parameter
          λ：Scale parameter
          中位数： $t(50)=(\frac{1}{λ}log2)^\frac{1}{γ}$

对生存函数取log(-log)： $log(-logS(t))=γlogλ+γlogt$ 。当 $log(-logS(t))$ 与 $logt$ 呈直线时，可以考虑符合weibull分布。该图的截距为logλ近似估计参数λ，斜率近似为γ。如果两条线平行，则考虑符合等比例风险假设。当斜率γ=1，此时为指数分布。 $log(-logS(t))=logλ+logt=logλt$

-参数估计

均通过极大似然估计(Maximum likelihood estimation)求参数。似然函数
$\prod_{i=1}^nf_{Ti}(ti)^{δi}S_{Ti}(ti)^{1-δi}$ ，
其中n为受试者数，δi=1(事件发生)，δi=0(删失)。将对应的f(t)及S(t)带入后求极大值（求对数后求导，导数为0时即最大值）

指数分布

image.png

e.g.

变量
$t_i$	1	1	2	3	3	5	8	10	16	18
$δ_i$	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1

$λ=\frac{8}{1+...+18}$

$S(t)=e^{-0.2294t}$

Weibull分布

weibull分布的参数估计需要通过迭代的方法计算。

-引入协变量

当生存资料中除时间以外还存在其他变量的影响时，需要将变量考虑进回归模型。与Cox回归类似。
由于时间t不为负，将其取对数后变换为在(-∞,∞)之间，可以采用线性回归模型（对数时间线性模型）。
$lnT=a_0+a_1x_1+ ... +a_mx_m+\sigma\varepsilon$ ， $\sigma$ 为常数， $\varepsilon$ 为随机误差服从某一特定分布。
则 $T=exp(a_0+a_1x_1+ ... +a_mx_m+\sigma\varepsilon)=exp(a'x')exp(\sigma\varepsilon)$ ，当所有协变量为0时为不受协变量影响时的基准生存时间， $a_0$ 需要包括在模型中。

*加速失效模型
* $\varepsilon$ 服从极值分布 $f_\varepsilon=e^{x-e^x}$ 时，对应指数分布和weibull分布

指数分布：当 $\sigma=1$ 时， $\varepsilon$ 的分布为 $f_\varepsilon=e^{x-e^x}$ 时，为指数分布 $f(t)=λexp(-λt)$ ， $λ=exp(-(a_0+a_1x_1+ . . .+a_mx_m))$

weibull分布：当 $\sigma$ 为常数（需要从数据中估计）， $\varepsilon$ 分布不变，
为weibull分布 $f(t)=γλt^{γ-1}exp(λt^γ)$ ， $h(t)=λγt^{γ-1}$
$γ=1/\sigma$ ， $λ=exp(-(a_0+a_1x_1+ . . .+a_mx_m)/\sigma))$ 。
表示为风险函数： $h_i(t)=exp((β_1x_1+ . . .+β_mx_m)h_0(t)$ = $exp(β'x')λγt^{γ-1}$ ，此时scale变为λexp(β'x')，shape仍为γ不变。当所有协变量为0时，基准风险率为 $h_0(t)$ ，此时模型中不需要包括 $β_0$ 。

-SAS 实现

Proc lifereg data=XXX
Class XX;
model timestatus()=XX XX /dist=exponential;
model timestatus()=XX XX /dist=weibull;
run;
计算出线性模型中 $a_0, a_1, . . . , a_m, \sigma$ 后，可以通过相应的公式估算 $γ$ 及 $λ$ 的值。