Cox回归模型为半参数模型，它不对基线风险函数进行估计。如果生存资料确实符合某一特定分布，采用实际分布能够更准确的估计对应参数。对半参数回归对应为参数模型（parameteric models）。包括指数分布和weibull分布等。
-各个函数之间的关系
- 死亡概率密度函数：
- 死亡累积概率密度函数：
- 生存函数：
- 风险函数：
- 累积风险函数：
- 生存函数与累积风险函数的关系：
-指数分布
-概率密度函数：
-累积概率密度函数： （F(t)求导为f(t)）
-生存函数：
-风险函数：，由此可见指数分布的风险恒定为λ
-累积风险函数：
-中位数：
-均值：
由生存函数可得， -log{S(t)}=λt，即与生存时间t呈线性。因此可以通过对-log(S(t))与t绘图是否呈过原点的直线来判断该生存资料是否符合指数分布。
SAS中通过proc lifetest data=XX plots=(logsurv) 绘图实现。
-威布尔分布
- 死亡概率密度函数：
- 死亡累积概率密度函数：
- 生存函数：
- 风险函数：
当γ=1时，为指数分布。
分布具有两个参数：
γ：Shape parameter
λ：Scale parameter
中位数：
对生存函数取log(-log)：
。当
与
呈直线时，可以考虑符合weibull分布。该图的截距为logλ近似估计参数λ，斜率近似为γ。如果两条线平行，则考虑符合等比例风险假设。 当斜率γ=1，此时为指数分布。
-参数估计
均通过极大似然估计(Maximum likelihood estimation)求参数。似然函数
，
其中n为受试者数，δi=1(事件发生)，δi=0(删失)。将对应的f(t)及S(t)带入后求极大值（求对数后求导，导数为0时即最大值）
指数分布
e.g.
| 变量 | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 3 | 3 | 5 | 8 | 10 | 16 | 18 | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
Weibull分布
weibull分布的参数估计需要通过迭代的方法计算。
-引入协变量
当生存资料中除时间以外还存在其他变量的影响时，需要将变量考虑进回归模型。与Cox回归类似。
由于时间t不为负，将其取对数后变换为在(-∞,∞)之间，可以采用线性回归模型（对数时间线性模型）。
，
为常数，
为随机误差服从某一特定分布。
则 ，当所有协变量为0时为不受协变量影响时的基准生存时间，
需要包括在模型中。
*加速失效模型
*服从极值分布
时，对应指数分布和weibull分布
指数分布：当
时，
的分布为
时，为指数分布
，
weibull分布：当
为常数（需要从数据中估计），
为weibull分布，
，
。
表示为风险函数：=
，此时scale变为λexp(β'x')，shape仍为γ不变。当所有协变量为0时，基准风险率为
，此时模型中不需要包括
。
-SAS 实现
Proc lifereg data=XXX
Class XX;
model timestatus()=XX XX /dist=exponential;
model timestatus()=XX XX /dist=weibull;
run;
计算出线性模型中后，可以通过相应的公式估算
及
的值。
