作为个人两轮车动态理论学习的第3部分，主要是将两轮车横向动态部分的其余一些理论概念和分析指标继续做一下补充。

上一篇相关文章详见：两轮车动态理论学习-阶段记录2

以下是正文：

1、除了车辆的自稳定性之外，当骑手施加控制/干预后的系统稳定性有什么改变

从前面文章可以看到，基于车辆本身的参数（如质量分布、尺寸、刚性系数等）、在不同的直线速度下可以基于特征值分析来进行横向稳定性的分析，不过这时车辆是无干预的状态（可以通俗理解为骑手无身体干预的脱把骑行）。虽然车辆的自稳定性对车辆的操控有重要影响，但模型仍忽略了非常重要的人为控制和干预的环节。来自驾驶者的控制和干预肯定是影响动态特性的关键因素，因此车辆除了在无干预的前提下趋于稳定外，是否能使得驾驶者通过常规操控将原本的不稳定性区间进行稳定化，也是增补的分析方法。

理论分析中，驾驶者的控制/干预在模型中是两种形式：一是对车把施加转向力矩，二是上半身相对固定在车辆上的下半身产生倾斜的力矩（驾驶者的前后移动在横向动态分析中做忽略）。

模型中驾驶者如何施加这两种力矩，基于一个假想的控制机制：驾驶者结合当前的车速，根据转向角、侧倾角的当前值和变化率进行反应，作为控制参数（例如上述变量的PID的设定，基于控制理论）计算力矩输入值。在这个控制参数确立后，控制（转向力矩和倾斜力矩）就作为一种输入/变量更新到车辆动态的模型例如状态空间方程中（如微分方程组）。将更新后的方程组再一次分析运算，与稳定性关联的特征值/特征向量也更新了结果。通过施加干预的前后对比，可看出同一车辆在无控制和施加干预后的稳定性差异，尤其是将某些自身趋于不稳定的Wobble和Weave模式状态通过干预而稳定化，这也充实了车辆的操控性分析。

无控制干预的车辆的自稳定性（之前文章的结果）

图1：无控制干预的车辆的自稳定性（之前文章的结果）

图2：车手基于输入条件（基于车速、转向、侧倾、偏航的数值及其变化率）的转向力矩输出模型

相同车辆在车手施加控制和干预后的稳定性表现

图3：增加了车手控制模型后的稳定性分布（优化）

通过使用Octave将上述相关文档和论文中的参数结果进行计算和图表的复现

图4：对图1的无控制干预的稳定性复现（特征值分布）

图5：对图3的施加控制参数的稳定性变化复现（特征值分布改变）

可以看到，通过控制模型，车辆的稳定性有了明显的优化，尤其是低速条件下的编织摇晃和中速域下的车把摆动。在高速条件下，可以增加稳定的车速范围，但在超高速条件下也很难实现车辆的稳定，这意味着需要更加复杂的控车技术。

2、除稳定性之外，在理论角度上去分析驾驶者对车辆施加控制/干预后，车辆的响应（瞬态响应，阶跃响应）

在上述施加干预后的稳定性模型建立后，基于状态空间模型，也可对在骑手的干预操作（转向和侧倾）下车辆的响应进行分析。其一般分析方法本质上是在线性模型基础下，将系统的状态空间方程/传递函数分别对转向力矩和侧倾力矩进行阶跃响应的分析（阶跃响应也就是Step Response，可通过Matlab或Octave中的step函数应用实现求解）。下图是车把转向力矩和上身侧倾后对车辆的瞬态阶跃响应，同时在Octave中进行了计算复现。

转向力矩的阶跃响应

图6：完整模型下，转向力矩的阶跃响应（35km/h和70km/h）

图7：完整模型下，转向力矩的阶跃响应复现（36km/h）

图8：完整模型下，转向力矩的阶跃响应复现（72km/h）

上身侧倾力矩的阶跃响应

图9：完整模型下，上身侧倾力矩的阶跃响应（35km/h和70km/h）

图10：完整模型下，上身侧倾力矩的阶跃响应复现（36km/h），符号与论文中相反

图11：完整模型下，上身侧倾力矩的阶跃响应复现（72km/h），符号与论文中相反

转向力矩的阶跃响应体现了一个有趣的结果：在现实骑行中出现的Counter-Steering。也就是在施加转向力矩的瞬间，车辆的偏航角短暂呈现相反的走势，然后回正并朝向目标方向。在中低速的快速转向中，Counter-Steering也就是推把是一个有效的控制手段。然而当车辆处于高速状态下，实现转向如果使用这种方式可以在图表中看出一种震荡的趋势，在高速状态下的小幅度方向控制最好通过上半身的倾斜力矩来稳定实现，对躯干身体姿态的控制要求明显高出不少。尽管这种控制相比车把操控来说有明显的迟滞，分析模型中也看出侧倾力矩的响应效果相比转向力矩是迟缓的，因为其依赖重力和陀螺效应的递进影响而非直接的轮胎滑移力。

模型也体现另一个有趣的特征，当需要保持在稳定的转向过程时，需要对车把维持一个反方向力矩，以确保保持恒定的转向路线。不过这个瞬态的表征不如在稳态的转弯下论证的更清晰。

3、稳态的转向分析（steady-state corning) -未完成

这部分的分析虽然不必使用高阶的微分方程和特征值解析的工作，但需要对来自四轮车辆动力学的一些概念和推导思路有清晰的了解。也就是把研究范围限制在摩托车的文档部分完全不够用了，因此需要做扩展的学习工作。时间精力的原因需要用后续的文章中进行补充。

从动态稳定性部分到了稳态下的转向部分。稳态的转向分析基于车辆动力学，特别是分析汽车动态时最经典的单轨模型（Single-track vehicle)。稳定的转向指的是车辆保持一个圆弧的路线上持续行驶的状态。这意味着在前进速度下要保持稳定还需要通过轮胎在水平方向提供侧向力，其与重力一起保持住一个特定的车辆倾角。

此部分使用各种力的平衡关系去分析来评估车辆的转向操控性，例如来自轮胎的力（滑移力，侧倾力，回正力等），来自车辆的惯性力（向心力，重力，陀螺力等），来自骑手的力（车把转向力矩，重心偏移等）。骑手要保持目标恒定的转向状态所需要的车把力矩是怎样的变化。

由于是基于汽车的理论单轨转向模型延伸出，轮胎的一些重要参数（例如对应的Slip滑移角和Camber侧倾角的刚性系数，以及回正力矩等）、车辆前轮的倾角、拖曳距以及车辆的重心分布非常重要，并逐渐叠加惯性效应（如车轮的陀螺效应，转动惯量/惯性积等）、以及不同速度条件下和加速/制动以及空气阻力所产生的影响。

这项的分析工作基本上是基于力矢量的平衡关系形成的方程组。然后得出车把转向角、车辆转向角（基于运动曲线的转弯半径和轴距求出）、前后轮的滑移角等的关系，从中拆解出导致转向不足或转向过度的因子，并且通过求解出实现转向所需要的车把转向力矩，进而提供分析数据。当侧倾角和转向角较小时，采用简化的线性方式（侧倾角的变化对一些参数使用弧度近似的方式），当侧倾角较大时（转向角较大的情况较少），采用非线性的方式，此时侧倾角的变化与一些参数的三角函数关系以及弧长与距离的差异变大而不能线性化处理。

图12：基于汽车单轨模型的转向分析概念（转向不足、转向过度、中合转向）

图13：论文中的两轮车稳态转向条件下的非线性模型中的变量关系-待研究

4、转向中的稳定性分析-未开始

Konen基于大倾角转向条件下进行了车辆基于特征值的稳定性分析。目前公式和状态空间微分方程如何处理，还没时间和精力去研究。看了一下引用的论文，又是几百页的PDF，和第三部分一样。分析标准可能与Pacejka和Sharp的不一样，又得断断续续的研读很长一段时间。后续文章补充吧。

图14：论文中的两轮车大倾角（1弧度条件）的稳定性特征值分析-待研究

小结

两轮车的理论，仅仅是横向动态和转向部分的分析，就是很多的内容。没有太多空闲的时间去深入研读和总结。即使目前的三个文章，也只是摘选了一些比较基础和重要的部分，除了特征值的分析部分做了分析外，还有特征向量的部分，以及能量流的分析部分未能进行补充。除了线性部分，还有非线性部分。

横向和转向的操控分析比纵向的分析要复杂许多。在每次弄清楚一块内容后，往往又发现一个新的分析理论引用，结果需要寻找购买另一篇文章，如此往复。一个传统领域的知识能出乎常识理解的丰富和烧脑，是好事吧。