第k小算法
我们通常会简单地进行一个快速排序后，得到第k个位置上的数字即可。
我们都知道的是快速排序是个不稳定的排序，它的排序过程简单的理解主要是两个概念Partion,pivot(基准数)
一趟快速排序的过程如下
- 先从序列中选取一个数作为基准数
- 将比这个数大的数全部放到它的右边，把小于或者等于它的数全部放到它的左边
一趟快速排序也叫做Partion，即将序列划分为两部分，一部分比基准数小，另一部分比基准数大，然后
再进行分治过程，因为每一次Partion不一定都能保证划分得很均匀，所以最坏情况下的时间复杂度不能
保证总是O(nlogn)的。
BFPRT算法
在BFPTR算法中，仅仅是改变了快速排序Partion中的pivot值的选取，在快速排序中，我们始终选择第一个元
素或者最后一个元素作为pivot，而在BFPTR算法中，每次选择五分中位数的中位数作为pivot，这样做的目的
就是使得划分比较合理，从而避免了最坏情况的发生。算法步骤如下
（1）将输入数组的n个元素划分为n/5组，每组5个元素，且至多只有一个组由剩下的n%5个元素组成。
（2）寻找n/5个组中每一个组的中位数，首先对每组的元素进行插入排序，然后从排序过的序列中选出中位数。
（3）对于（2）中找出的n/5个中位数，递归进行步骤（1）和（2），直到只剩下一个数即为这n/5个元素的中位数，找到中位数后并找到对应的下标p。
（4）进行Partion划分过程，Partion划分中的pivot元素下标为p。
（5）进行高低区判断即可。
本算法的最坏时间复杂度为O(n)，值得注意的是通过BFPTR算法将数组按第K小（大）的元素划分为两部分，而
这高低两部分不一定是有序的，通常我们也不需要求出顺序，而只需要求出前K大的或者前K小的。
java代码示意
/**
* Created by ganjun on 2017/5/3.
*/
import java.util.*;
public class BFPRT {
public final int MAXN = 100000;
public static void swap(int [] x , int i , int j){
int tmp = x[i];
x[i] = x[j]; x[j] = tmp;
}
public static void sort(int [] x , int l , int r){
for(int i=l ; i<=r ; i++){
for(int j=i+1 ; j<=r ; j++){
if(x[j]<x[i]) swap(x , i , j);
}
}
}
public int findMedian(int []x , int l , int r){
int i , index;
for(i=l , index=0 ; i+4<=r ; i+=5 , index++){
sort(x , i , i+4);
swap(x , l+index , i+2);
}
//处理5个一分组多余的数字
if(i<=r){
sort(x , i , r);
swap(x , l+index , i+(r-i+1)/2);
index++;
}
if(index == 1) return x[l+index];
else return findMedian(x , l , l+index-1);
}
//寻找x数组中[l,r]区间内第k小元素
public int findKthMin(int [] x , int l , int r , int k){
int median = findMedian(x , l , r);
// 类似快速排序的方式，确定一个pivot为这个中位数的值x[l]，然后小的数放左边，大的数放右边
// 填坑法，最开始的数字x[l]上l位置是空出来的，
// 那么每一轮都从右边位置j找到一个较小的数填到i上（最开始i=l)，然后i上空出来了位置，
// 就再从左侧开始找到一个较大的数填回j上，直到i>=j
int mediemVal = x[l];
int i=l , j=r;
while(i<j){
while(i<j && x[j]>mediemVal) j--;
if(i<j) x[i] = x[j];
while(i<j && x[i]<mediemVal) i++;
if(i<j) x[j] = x[i];
}
x[i] = mediemVal;
if(i-l+1 == k) return x[i];
else if(i-l+1 > k) return findKthMin(x , l , i-1 , k);
else return findKthMin(x , i+1 , r , k-(i-l+1));
}
public static void main(String [] args){
int []x = {2,3,6,5,7,9,4};
BFPRT sol = new BFPRT();
//int val = sol.findMidiem(x , 0 , 6);
int val = sol.findKthMin(x , 0 , x.length-1 , 3);
System.out.println(val);
}
}
c++代码
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1000005;
int a[N];
int findMedian(int a[] , int l , int r)
{
int i , index;
for(i=l,index=0 ; i+4<=r ; i+=5,index++){
sort(a+l , a+l+5);
swap(a[l+index] , a[i+2]);
}
if(i<=r){
sort(a+i , a+r+1);
swap(a[l+index] , a[i+(r-i+1)/2]);
index++;
}
if(index == 1) return a[l];
else return findMedian(a , l , l+index-1);
}
//以p位置上的数字作为基准点划分，返回的i是最后基准点所在的位置
int partion(int a[] , int l , int r , int p)
{
swap(a[p] , a[l]);
int i=l , j=r , pivot= a[i];
while(i<j){
while(i<j && a[j]>=pivot) j--;
if(i<j) a[i] = a[j];
while(i<j && a[i]<=pivot) i++;
if(i<j) a[j] = a[i];
}
a[i] = pivot;
return i;
}
//在a数组的[l,r]区间内找到第k小的数字
int findKthMin(int a[] , int l , int r , int k)
{
int median = findMedian(a , l , r);
int p = partion(a , l , r , l);
int len = p-l+1;
if(len == k) return a[p];
else if(len>k) return findKthMin(a,l,p-1,k);
else return findKthMin(a,p+1,r,k-len);
}
int main()
{
int n, k;
while(~scanf("%d", &n)){
scanf("%d", &k);
for(int i = 0; i < n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
int ret = findKthMin(a,0,n-1,k);
//for(int i=0 ; i<n ; i++)
printf("%d\n", ret);
}
return 0;
}
>对于复杂度的理解有什么问题的可以参考《算法导论》9.3节，即112页