几道微分方程题

13. 求欧拉方程： $x^2y''+xy'-25y=0$

令 $x=e^t$ ，

原方程化为 $D(D-1)y+Dy-25y=0$

即， $D^2y-25y=0$ 。此方程为二阶常系数齐次线性常微分方程。

其特征方程为， $r^2-25=0$

所以， $r=\pm 5$

所以，易得 $y=C_1e^{5t}+C_2e^{-5t}$

即， $y=C_1x^5+\frac{C_2}{x^5}$

14. 求一阶线性微分方程： $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}-4\frac{y}{x}=x^3$

直接代入一阶线性微分方程的求解公式： $y=e^{- \int P(x) \mathrm dx} (\int Q(x) e^{\int P(x) \mathrm dx} \mathrm dx +C)$

容易解得， $y=x^4(\ln x +C)$

15. 求一阶微分方程： $(6\frac{\ln x}{x^2}-5x^3\cos y)\mathrm dx+x^4\sin y \mathrm dy=0$

令 $P(x,y)=6\frac{\ln x}{x^2}-5x^3\cos y$

$Q(x,y)=x^4\sin y$

则， $\frac{\partial P}{\partial y}=5x^3\sin y$

$\frac{\partial Q}{\partial x}=4x^3\sin y \neq \frac{\partial P}{\partial y}$

容易知道，积分因子 $\mu (x) =x$ 能使原方程变为恰当方程。

所以方程两边同乘 $\mu (x)=x$

得 $(6\frac{\ln x}{x}-5x^4\cos y)\mathrm dx+x^5\sin y \mathrm dy=0$

令 $R(x,y)=6\frac{\ln x}{x}-5x^4\cos y$

$S(x,y)=x^5\sin y$

则显然有， $\frac{\partial R}{\partial x}=5x^4\sin y = \frac{\partial S}{\partial y}$

所以存在 $u(x,y)=C$ ，满足上述微分方程，且 $\frac{\partial u}{\partial x}=R, \frac{\partial u}{\partial y}=S$

由 $\frac{\partial u}{\partial x}=R=6\frac{\ln x}{x}-5x^4\cos y$

易得， $u(x,y)=\int R\mathrm dx=3\ln ^2x-x^5\cos y+\varphi(y)$

所以， $\frac{\partial u}{\partial y}=x^5\sin y + \varphi '(y)=S$

所以， $\varphi ' (y)=0$ ， $\varphi (y)=c_1$

代入可得， $u(x,y)=3\ln ^2x-x^5\cos y+c_1$

所以，微分方程的解为， $3\ln ^2x-x^5\cos y=C$

16. 利用参数法求： $y=2+\ln [1+(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx})^2]$

令 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\tan t$

所以， $y=2+\ln(\sec^2t)$

两边同时求微分，所以有 $\mathrm dy=2\tan t \mathrm dt$

又因为 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\tan t$

所以， $\frac{2\tan t \mathrm dt}{\mathrm dx}=\tan t$

所以， $t=\frac{1}{2}x+C$

代入 $y=2+\ln(\sec^2t)$

即得， $y=2+\ln(\sec^2(\frac{1}{2}x+C))$

17. 利用降阶法求： $(y+1)y''+(y')^2=0$

显然是不显含 $x$ 的方程，令 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p$

则， $\frac{\mathrm d ^2 y}{\mathrm d x^2}=p\frac{\mathrm dp}{\mathrm dy}$

原式转化为， $(y+1)p\frac{\mathrm dp}{\mathrm dy}+p^2=0$

即， $(y+1)\frac{\mathrm dp}{\mathrm dy}=-p$ 显然为可分离变量的微分方程

容易求得， $p=\frac{c_1}{y+1}$

即， $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{c_1}{y+1}$ 也为可分离变量的微分方程

易得， $\frac{1}{2}y^2+y=c_1x+c_2$

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16. 利用参数法求：

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