2.1 贯穿本章的例子
一份用于研究前列腺癌与基因关系的数据：102个人中50个正常，52个是癌症患者，统计每个人的6033个前列腺相关基因。
数据用维的矩阵
表示：
则基因i的双样本t检验统计量为(latex显示有误，是均值):
为了后续方便，将t转换为z，
由于有6033多个假设要检验，因此需要多重检验修正，比如使用Bonferroni方法计算中心距4.31以上的才认为显著。但是似乎过于严格了，会降低正确发现率。
经验贝叶斯提供了一种宽松些的多重检验方法。
2.2 贝叶斯方案
由于数据集是H0和H1的混合，我们可以定义其中H0概率为，H1概率为
，以及对应的概率密度函数
和
，对应样空间
的概率累计函数
和
。则对应的混合分布为：
因此如果，则
属于H0的概率为：
上述概率被称为“Bayes false discovery rate”，也可以写为
如果只包含一个点
：
被称为“local Bayes false discovery rate”，也写作
由于
定义（Lehmann alternatives）则
注意：
当很小时
2.3 经验贝叶斯估计
2.3.1 评估方法
上一节的混合分布的定义中，认为是已知的，
常常接近1，最重要的未知就是
显然可以用经验贝叶斯方法来评估错误发现率（简书显示有误，不是平方）
其中分母为混合分布的经验分布。
2.3.2 效果好坏
满足条件的的个数可以表示为：
则 (同样有显示错误，正确公式是下图)
其中未知参数为
带入到2.1的例子中，如果我们
2.4 经验贝叶斯错误发现率的点估计
根据上文可知：
其中是阳性的期望数量，
是错误阳性的期望数量。
而我们也不知道错误发现的比率:
据此可以得到3个相关数字()：
接下来会讨论它们之间的关系。
引理2.1
在已知前提下
其中%3D%5Cfrac%7Be_0(Z)%7D%7Be_0(Z)%20%2B%20N_1(Z)%7D)
上述引理标明empirical Bayes false discovery rate预期比实际比例大。
如果将做变量求期望，可以得到
所以Bayes false discovery rate是Fdp的上界。
引理2.2
如果定义平方变异系数
则经验贝叶斯错误发现率与贝叶斯错误发现率之比
均值近似为，方差近似为
)
引理2.2告诉我们经验贝叶斯的精度取决于。如果假设
间独立，可以得到更有意思的结果。
设互相独立，则
是二项分布：
平方变异系数为：
由于我们感兴趣的一般很小，则
。则根据引理2.2，经验贝叶斯错误发现率与贝叶斯错误发现率之比：均值近似为
，方差近似为
其中的关键为和独立，带入2.1的例子中，可知经验贝叶斯错误发现率与贝叶斯错误发现率之比近似为1.02标准差为0.14，可以据此构建置信区间。
如果在保持独立前提下，假设N服从泊松分布，即:
引理2.3
在泊松独立假设下：
其中
大规模推断中一般H1也是存在的，因此取做上界存在高估，一种简单的修正：
引理2.4
在泊松独立前提下
注意：当比较小时（比如小于10），两种估计都可能存在严重偏差。
2.5 独立 vs 相关
独立假设对FDR来说非常重要，但是非常危险。在第7和第8章会展开讨论。
2.6 从其它个体信息中学习2
考虑类似上章的贝叶斯结构
我们可以用它来模拟假设检验：
其中是德尔塔函数，
是H1的先验概率密度函数。
本章例子中，可以通过其它基因信息评估和
，再通过贝叶斯理论结合
，对基因i进行推断。详细会在后面的章节展开。
本章概念
